求函数值域的方法大全_精品文档.doc

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求函数值域（最值）的方法大全

函数是中学数学的一个重点,而函数值域（最值）的求解方法更是一个常考点,对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域（最值）求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域（最值）的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见函数的值域：

一次函数的值域为R.

二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，

反比例函数的值域为.

指数函数的值域为.

对数函数的值域为R.

正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.

二、求函数值域（最值）的常用方法

1.直接观察法

适用类型：

根据函数图象.性质能较容易得出值域（最值）的简单函数

　　　　例1、求函数y=的值域

　　解：

显然函数的值域是：

　例2、求函数y=2－的值域。

解：

≥0－≤02－≤2

故函数的值域是：

[-∞，2]

2、配方法

适用类型：

二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.

例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

解：

将函数配方得：

y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：

当x=1时，y=4

当x=-1，时=8

故函数的值域是：

[4，8]

例4、求函数的值域：

解：

设，则原函数可化为：

.又因为，所以，故，，所以，的值域为.

3、判别式法

适用类型：

分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。

例5、求函数的值域

解：

恒成立，函数的定义域为R.

由得 。

①当即时，；

②当即时，时，方程恒有实根.且.

原函数的值域为.

例6、求函数y=x+的值域。

解：

两边平方整理得：

2-2（y+1）x+y=0

（1）

xR，△=4（y+1）-8y≥0

解得：

1-≤y≤1+

但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：

0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x的方程：

2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

0≤x≤2，y=x+≥0，

=0，y=1+代入方程

（1），解得：

=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：

[0，1+]。

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型：

分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型）,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例7、求函数的值域。

分析与解：

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。

反解得即

知识回顾：

反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为：

。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

适用类型：

一般用于三角函数型，即利用等。

例8、求函数y=的值域。

解：

由原函数式可得：

=

＞0，＞0

解得：

-1＜y＜1。

故所求函数的值域为（-1,1）.

例9、求函数y=的值域。

解：

由原函数式可得：

ysinx-cosx=3y

可化为：

sinx（x+β）=3y

即sinx（x+β）=

∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。

即-1≤≤1

解得：

-≤y≤故函数的值域为[-，]。

6、函数单调性法

适用类型：

一般能用于求复合函数的值域或最值。

（原理：

同增异减）

例10、求函数的值域。

分析与解：

由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：

配方得：

由复合函数的单调性（同增异减）知：

。

例11、求函数y=（2≤x≤10）的值域

解：

令y=，=，则y，在[2，10]上都是增函数。

　所以y=y+在[2，10]上是增函数。

　当x=2时，y=+=，

　　当x=10时，=+=33。

故所求函数的值域为：

[，33]。

例12、求函数y=-的值域。

解：

原函数可化为：

y=

令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。

所以当x=1时，y=y+有最小值，原函数有最大值=。

显然y＞0，故原函数的值域为（0,]。

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

适用类型:

无理函数、三角函数（用三角代换）等。

例13、求函数y=x+的值域。

解：

令x-1=t，（t≥0）则x=+1

∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知

当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。

故函数的值域为[1，+∞）。

例14、求函数y=x+2+的值域

解：

因1-≥0，即≤1

故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。

∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/4）+1

∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4

∴-≤sin（β+∏/4）≤1

∴0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。

故所求函数的值域为[0，1+]。

例15、求函数y=的值域

解：

原函数可变形为：

y=-

可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β

∴y=-sin2βcos2β=-sin4β

当β=k∏/2-∏/8时，=。

当β=k∏/2+∏/8时，y=-

而此时tgβ有意义。

故所求函数的值域为[-，]。

例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。

解：

y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1

令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1）

y=（-1）+t+1=

由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]

可得：

≤t≤

∴当t=时，=+，当t=时，y=+

故所求函数的值域为[+，+]。

例17、求函数y=x+4+的值域

解：

由5-x≥0，可得∣x∣≤

故可令x=cosβ，β∈[0，∏]

y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4

∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。

故所求函数的值域为：

[4-，4+]。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

适用类型:

函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例18、求函数y=+的值域。

解：

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

例19、求函数y=+的值域

解：

原函数可变形为：

y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，

故所求函数的值域为[，+∞）。

例20、求函数y=-的值域

解：

将函数变形为：

y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。

即：

y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==

即：

-＜y＜

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

综上所述，可知函数的值域为：

（-，-]。

注：

由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

如：

例17的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；

例18的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。

例21、求函数的值域.

分析与解:

看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点（2,3）到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线B

x

和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:

9、不等式法

适用类型：

能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

（如：

）

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例22、求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域

解：

原函数变形为：

y=（+）+1/+1/

=1++=3++

≥3+2=5

当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。

故原函数的值域为：

[5，+∞）。

例23、求函数y=2sinxsin2x的值域

解：

y=2sinxsinxcosx=4cosx

=16

=8（2-2）

≤8（++2-）

=8[（++2-）