校车安排问题数学建模Word格式文档下载.docx
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综合考虑距离模型，满意度模型，运营成本以及现实中的各种因素，给出校车安排的一些建议：
在校车安排时应综合考虑教师的满意度和增加校车与乘车点的成本问题，在条件允许的范围内尽量增加乘车点以提高总体满意度。
关键词：
Warshall-Floyd算法总体满意度距离矩阵MATLAB
1、问题重述
许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。
由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。
如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。
有如下问题待
设计解决：
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区，各区的距离见表1。
各区人员分布见表2。
（1）问题1:
如要建立n个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应建立在哪n个点。
建立一般模型，并给出n=2,3时的结果。
（2）问题2:
若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建立在哪n个点。
（3）问题3若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排
多少辆车？
给出每个乘车点的位置和车辆数。
设每辆车最多载客47人。
（4）问题4;
关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。
可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。
2、模型的假设及符号分析
2.1模型的假设
（1）50个区域看做50个点，附录A中标注距离的点间可以直接连通，而未标注的点则不能，必需通过其他点间接到达。
（2）假设所有乘车点设立在各小区（点）上，乘车站点不设立在路上。
（3）假设教师和工作人员的满意度只与距离有关，而忽略其他因素对其满意度
的影响。
（4）校车只在各个点上载人，行驶途中不载人。
（5）假设所有人员均乘车。
（6）假设任意时刻任意站点均有车，不考虑教师及工作人员的等车时间。
2.2符号说明
A:
各点间距离的邻接矩阵；
B:
各点间的最短距离矩阵；
.:
顶点至师点'
的最短距离;
图中点到'
点最短路径的权；
「.：
图中j点的权，表示点（即i区）的人数;
D:
各个点到乘车点的总距离；
最短总距离；
p:
乘客个体的满意度；
A：
所有乘客的总体满意度;
d:
某点走到乘车点的距离；
D:
任意两点最短距离的最大值；
R:
教师及工作人员走到乘车点的平均距离
3、模型的建立与求解
3.1计算各区（点）之间的最短路
3.1.1数据分析及处理
用附录A中的各区之间距离建立对应各点距离的邻接矩阵A，即
ai2
*■*
A=
a21
■
■1
li
a250
■>
a502
…^5050-
3.1.2用Warshall-Floyd算法计算任意两点间的最短路
设i为图G中的顶点。
令.是顶点到顶点'
的最短距离，是顶点至V顶点’的权。
对于任何一个顶点，顶点到顶点j的最短路经过顶点-或者不经过顶点-。
比较.与牛+.的值。
若珀》（怙+珀，则令—-哄£
.：
，保持.是当前搜索的顶
点到顶点的最短距离。
重复这一过程，最后当搜索完所有顶点一时，5就是顶
点到顶点'
的最短距离。
这一算法的具体实现由MATLAB编程实现，具体程序见附录D。
将邻接矩阵A作为Warshall-Floyd算法的输入矩阵，程序输出各点间的最短距离矩阵B（结果见附录B）以及取最短距离时部分点间的走法（结果见附录C）。
3.2建立n个乘车点使各区人员到最近乘车点的距离最小的数学模型
3.2.1模型的建立
为图中点到'
点最短路径的权，表示从点到'
点的最短距离；
「.为图中j点的权，表示点（即i区）的人数，由于不考虑人数对乘车点的影响，取…=1，i，j€（1,50）。
问题1的模型为=1时的特殊情况：
Minf=丄_：
.='
%叫
3.2.2模型的求解
任取n个互异点两，1'
为乘车点，则从各点到乘车点的总路程为：
£
■jL
则取50个点的组合一-做做飞飞;
吨葺，分别计算，取
得使’取最小值的.，■宀二，，■■点即为所求乘车点。
即：
也」?
sj1Zjn
M宙齐=min
其中旳；
沟.:
汝叫雪€{1,2，…,50},且卸驗汝叫如互不相等
取n=2,3，计算结果，算法的MATLAB实现减附录D.由程序计算得：
n=2时，求得乘车点应在区域18和31,且〔=24492
n=3时，求得乘车点应在区域15、21和31,且〔=19660
3.3考虑每个区的乘车人数建立n个乘车点，使教师和工作人员满意度最大
3.3.1模型的建立
「.为图中j点的权，表示点（即i区）的人数，取=1,i,j€（1,50）。
校艮A.数分布悄
可以想象，去乘车点的距离越大越不满意，即满意度随距离的增加而降低，
假设为线性关系，当所有人走的总距离最短时满意度最大。
定义p为乘客个体满
意度，依假设有：
d
p=1-—
D
其中d为某点走到乘车点的距离，D为任意两点最短距离的最大值。
定义A为所有乘客的总体满意度，有:
A=1-"
MD
其中m为某点的人数，M为所有教师人数
定义R为教师及工作人员走到乘车点的平均距离，即:
=Imd
R=
M
332模型的求解
任取n个点'
..'
-.."
为乘车点，所有人到乘车点的总路程为：
D神„卄卄二〉min〈n汁3】
Vi*V2JV3?
..jVjt£
ji=1ii?
EiVn
则取50个点的组合一做.,■,"
，分别计算「.，取
3li1£
JItV|Ii¥
■>
Zwm
得使-■:
.■.:
:
'
-'
：
i…「min（叫「屜，驭”覘
其中「-11€{1,2,…,50},且「-'
1互不相等
n=2时，求得乘车点应取区域19和32,总体满意度A=77.77%;
距离乘车点的
平均距离R=496.8
n=3时，求得乘车点应取区域15、21和32,总体满意度A=82.60%;
距离乘车
点的平均距离R=388.8
3.4建立3个乘车点的数学模型
3.4.1模型的建立
此问题以车辆数和总体满意度为双目标函数；
任取3个点，-'
-为乘车点，所有人到乘车点的总路程为：
甘些=、min（山*3）
Tl*/1iv/1it?
/1ivnJ
分别找出此时到…点距离最近的L一个点，计算这h一个点的总人数一。
（i=1,2,3）
IEEI
则取50个点的组合［做的］卑丁迪，分别计算「，取得使「
取最小值的冷耘许点即为所求乘车点。
/;
nrin=min）
3
（?
?
表示向上取整）
342模型求解
以上算法通过MATLAB编程实现。
（具体程序见附录D）
将最短距离矩阵B和各区人数座位输入数据输入程序，计算得到结果:
乘车点应设在区域15、21、32（由模型3.3可知）；
其中：
15区应安排
17辆车，到15区乘车的区域有：
5、6、7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、14、15、16、17、18、25、
26、
27
21区应安排
19辆车，到21区乘车的区域有：
1、2、3、
4、
19、
20、
21、
22、
23、24、28、43、44、45、46、
47、
48、
49
32区应安排18辆车，到32区乘车的区域有：
29、30、31、32、33、
34、35、36、37、38、39、40、41、42、50
3.5建议
1•从问题求解过程中，我们可以看出固定的校车出发点使得校车利用率降低。
因此我们建议空闲的校车到其他的乘车点去运送乘车人员。
从而使需要的校
车数目减少一至两辆。
2.适当增加乘车点的数量，使乘车人员的不满意度进一步减小。
3.在一天内的不同时间点应安排不同辆数的校车。
上下课时间为乘车高峰期，应多安排车辆，其它时间应少安排。
这样可有效节省运行成本。
4.尽量将人员的上下班时间统一在几个固定的时间段，在这几个时间段安排足够的车辆，保证每名员工都能及时乘坐校车，也可增加校车的运营效率。
5.在非高峰期可适当停止部分站点的使用。
4.模型的分析与评价
本文就高校校车安排问题建立网络模型，进而转化为图论中最短路问题，具有一定的科学性。
但模型是建立在一系列假设的基础上，所得结果与实际问题会存在一定偏差，需要通过与实际情况比较而进行修正。
模型优点：
1、本模型运用相关数学及计算机知识，成功解决了如何安排有限个站点使
老师和工作人员满意度最高的问题。
在假设条件下，该模型精确地给出了站点位
2、通过MATLAB®
程我们可以得到任意两个区之间的最短路径，并且可以得了任意两个区最短路径具体的路线。
模型缺点：
1、本模型在理想条件下，通过编程可得出精确结果，但程序运行较为复杂,当设置的乘车点较多时，程序运算量非常大。
2、乘客个体满意度公式过于理想，忽略了很多其他因素。
5、模型的推广：
本模型可推广到公共站点设置、服务中心位置选择、垃圾运输等最短路径及选址问题。
本模型利用计算机程序实现了对结果的精确定位，可应用于各种与此类型相关的场合。
6、参考文献
【1】王海英黄强等，图论算法及其MATLAB实现，北京航空航天大学出版社，2010年2月第1版
【2】龚劬，图论与网络最优化算法，重庆大学出版社，2009年10月第1版
【3】姜启源谢金星叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003年8月
【4】李得宜李明，数学建模，科学出版社，2009年5月
7、附录
附录A:
各区距离表
区域号
距离
1
2
400
15
17
250
29
31
190
450
16
140
30
240
4
300
18
130
42
21
230
43
210
47
19
204
32
600
25
180
36
260
5
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