人教版高中数学必修四知识点整理及重点题型梳理平面向量应用举例提高Word下载.docx

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关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而

把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：

向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量

与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：

常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：

转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标

的方程。

（3）定比分点问题：

转化为三点共线及向量共线的等式条件。

（4）夹角问题：

利用公式 

cosθ 

资料来源于网络 

仅供免费交流使用

要点三：

向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：

一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即

将物理问题抽象成数学模型；

另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：

①力、速度、位移都是向量；

②力、速度、位移的合成

与分解就是向量的加减法；

③动量 

mv 

是数乘向量；

④功即是力 

F 

与所产生位移 

s 

的数量积。

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：

一是把物理问题中的相关量用向量表示；

二是转化为向量问

题的模型，通过向量运算解决问题；

三是把结果还原为物理结论。

【典型例题】

类型一：

例 

1．（2016 

苏州月考）已知 

A（3，2）、B（―2，1），C（1，―1），且 

AP 

-2PB

（）证明：

ABC 

是等腰直角三角形；

（2）求 

cos∠APC．

【思路点拨】

（1）由题意得CA 

（2,3）, 

CB 

（-3,2） 

，由 

CA 

⋅CB 

0,|CA 

=CB 

，能够证明△ABC

是等腰直角三角形．

2

（2）设点 

P（x，y），则 

（ 

x 

- 

3, 

y 

2）, 

PB 

（-2 

x,1 

y） 

．由 

，知 

x―3=4+2x

且 

y―2=2y―2，由此能求出 

【答案】

（1）略；

（2） 

3 

10

【证明】

（1）由题意得 

（-3,2）

因为 

，

所以 

CA⊥CB

所以△ABC 

是直角三角形

又∵ 

|=4 

+ 

9 

13,| 

|= 

4 

13 

∴ 

|=| 

∴△ABC 

是等腰直角三角形

P（x，y），

则 

y）

∵ 

-2PB 

∴x―3=4+2x 

y―2=2y―2，

解得 

x=―7，y=0，

∴P（－7，0），

PC 

（8, 

-1）, 

PA 

（10,2）

78 

|=65,| 

2 

26 

cos 

∠APC 

=78

65 

26

=

．

【变式 

】平面内ABC 

及一点 

O 

满足 

AO⋅ 

AB 

BO⋅ 

BA 

， 

BC 

CO⋅ 

，则点 

是△ABC 

的

【总结升华】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；

综合性强，是高考

的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．

举一反三：

【平面向量的应用举例 

395486 

3】

→→→→→→→→

（）

A．重心B．垂心C．内心D．外心

【答案】D

4】

2】已知正方形 

ABCD 

的边长为 

1，点 

E 

是 

边上的动点，则 

DE 

的值为________；

DC

的最大值为________.

【答案】11

【解析】 

DA 

=| 

⋅| 

cos〈 

DA〉 

|2 

=1

DC 

〉

⎛ 

π

⎝ 

4

≤ 

∠EDC 

≤

π 

⎫

⎪

∠EDC

DF 

|（F 

点在 

上的投影）

1

当 

与 

C 

点重合时，上式取到等号。

2．四边形 

是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC 

的延长线交 

的延长线于点 

F。

求证：

AF=AE。

【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量 

AE 

和 

AF 

，证明 

【证明】如下图，以点 

为坐标原点，以 

边所在直线为 

轴，建立直角坐标系，设正方形的边长

为 

1，则 

A（－1，1），B（0，1），若设 

E（x，y）（x＞0），则 

BE 

x, 

1） 

AC 

（1,-1） 

BE∥AC，即 

，所以 

x+y―1=0。

又因为 

AC=CE，所以 

x2+y2―2=0。

⎧1 

3

⎪ 

由 

⎨，得 

⎨

⎩

⎪⎩2

，即

1 

⎭

又设 

F（x＇，1），由 

CF 

'

1） 

CE 

ç

2,2⎪⎪ 

共线，

⎝⎭

-= 

，解得 

-2 

22

3,1） 

31 

⎫2⎛ 

-1 

⎫2

2⎪⎪ 

⎝⎭⎝⎭

【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。

类型二：

（P0

3． 

2015 

秋 

黑龙江泰来县月考）已知点 

（―3， 

），点 

Q 

在 

轴上，点 

A 

轴上，且 

AQ 

QM 

．当点 

轴上移动时，求动点 

M 

的轨迹方程．

【思路点拨】设 

Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，由 

建立关系式得

到 

3a 

b2 

．由等式 

解出 

a、b 

关于 

x、y 

的表达式，代入前一个式子化简即得动点 

的轨

迹方程．

【答案】 

x

【解析】设 

Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，则

（3 

b） 

（a 

-b） 

…①

⎧x

，可得 

⎨，∴ 

⎨…②

⎩ 

-2b

将②代入①，化简得 

所以动点 

的轨迹方程为 

【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决

解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。

】已知ABC 

的三个顶点 

A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点 

D、E、F 

分别为边 

BC、

CA、AB 

的中点。

（1）求直线 

DE、EF、FD 

的方程；

边上的高 

CH 

所在直线的方程。

（1）x―y+2=0x+5y+8=0， 

x+y=0

（2）x+y+4=0

（1）由已知得点 

D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），

设 

M（x，y）是直线 

上任意一点，

DM 

1, 

（-2, 

-2） 

∴（－2）×

（x+1）―（―2）（y―1）=0，

即 

x―y+2=0 

为直线 

同理可求，直线 

EF，FD 

的方程分别为

x+5y+8=0，x+y=0。

N（x，y）是 

所在直线上任意一点，则 

CN 

又 

6, 

2） 

（4, 

4） 

∴4（x+6）+4（y―2）=0，

x+y+4=0 

为所求直线 

【总结升华】

（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则

进行运算。

（2）要掌握向量的常用知识：

①共线；

②垂直；

③模；

④夹角；

⑤向量相等则对应坐标相等。

类型三：

向量在物理学中“功”的应用

4．如图所示，已知力 

与水平方向的夹角为 

30°

（斜向上），大小为 

50 

N，一个质量为 

8 

kg 

的木

块受力 

的作用在动摩擦因数μ=0.02 

的水平平面上运动了 

20 

m。

问力 

和摩擦力 

f 

所做的功分别为多少？

（g=10 

m 

/ 

s2）

500 

3―22

设木块的位移为 

s，

W=F·

s=|F|·

|s|cos30°

=50×

20×

3 

（J）。

在竖直方向上的分力的大小为| 

sin