背包问题动态规划详解及代码.docx

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0/1背包问题动态规划详解及C代码

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。

其关键是发现子问题和记录其结果。

然后利用这些结果减轻运算量。

比如01背包问题。

/*一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，

它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,

它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.

若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

输入格式：

M,N

W1,P1

W2,P2

......

输出格式：

X

*/

因为背包最大容量M未知。

所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。

比如，开始任选N件物品的一个。

看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。

怎么能保证总选择是最大价值呢？

看下表。

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?

从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。

加谁?

?

很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。

总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。

最右下放的数据就是最大的价值了。

（注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.）

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f（n,m）=max{f（n-1,m）,f（n-1,m-w[n]）+P（n,m）}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

下面是实际程序（在VC6.0环境下通过）:

#include

intc[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/

intknapsack（intm,intn）

{

inti,j,w[10],p[10];

printf（"请输入每个物品的重量,价值：

\n"）;

for（i=1;i<=n;i++）

scanf（"%d,%d",&w[i],&p[i]）;

for（i=0;i<10;i++）

for（j=0;j<100;j++）

c[i][j]=0;/*初始化数组*/

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=m;j++）

{

if（w[i]<=j）/*如果当前物品的容量小于背包容量*/

{

if（p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j]）

/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/

c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];

else

c[i][j]=c[i-1][j];

}

elsec[i][j]=c[i-1][j];

}

return（c[n][m]）;

}

intmain（）

{

intm,n;inti,j;

printf（"请输入背包的承重量,物品的总个数：

\n"）;

scanf（"%d,%d",&m,&n）;

printf（"旅行者背包能装的最大总价值为%d",knapsack（m,n））;

printf（"\n"）;

return0;

}