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利用导数解决恒成立能成立问题
一利用导数解决恒成立问题
不等式恒成立问题的常规处理方式。
(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)
(1)恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
1.若在x∈[1,+∞)上恒成立,则a的取值范围是 ______ .
2.若不等式x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,则实数a的取值范围 _________ .
3.设a>0,函数,若对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围为 _________ .
4.若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a取值范围是 _________ .
15.设函数f(x)的定义域为D,令M={k|f(x)≤k恒成立,x∈D},N={k|f(x)≥k恒成立,x∈D},已知,其中x∈[0,2],若4∈M,2∈N,则a的范围是 _________ .
6.f(x)=ax3﹣3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,则a的范围为 _________ .
7.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是 _________ .
8.不等式x3﹣3x2+2﹣a<0在区间x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是 __ .
9.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k的取值范围是 _________ .
10.设函数f(x)=ax3﹣3x+1,若对于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 _______.
11.若关于x的不等式x2+1≥kx在[1,2]上恒成立,则实数k的取值范围是 _________ .
12.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x﹣m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )
A.
[,+∞)
B.
(﹣∞,]
C.
[,+∞)
D.
(﹣∞,﹣]
13.已知,,若对任意的x1∈[﹣1,2],总存在x2∈[﹣1,2],使得g(x1)=f(x2),则m的取值范围是( )
A.
[0,]
B.
[,0]
C.
[,]
D.
[,1]
二利用导数解决能成立问
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
14.已知集合A={x∈R|≤2},集合B={a∈R|已知函数f(x)=﹣1+lnx,∃x0>0,使f(x0)≤0成立},则A∩B=( )
A.
{x|x<}
B.
{x|x≤或x=1}
C.
{x|x<或x=1}
D.
{x|x<或x≥1}
15.设函数,(p是实数,e为自然对数的底数)
(1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(2)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.
16.若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件:
(1)在D内的单调函数;
(2)存在实数m,n,当定义域为[m,n]时,值域为[m,n].则称此函数为D内可等射函数,设(a>0且a≠1),则当f(x)为可等射函数时,a的取值范围是_______
17.存在x<0使得不等式x2<2﹣|x﹣t|成立,则实数t的取值范围是 _________ .
18.存在实数x,使得x2﹣4bx+3b<0成立,则b的取值范围是 _________ .
19.已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立,则实数a的取值范围是 _ .
20.存在实数a使不等式a≤2﹣x+1在[﹣1,2]成立,则a的范围为 _________ .
21.若存在x∈,使成立,则实数a的取值范围为 ______ .
22.设存在实数,使不等式成立,则实数t的取值范围为 _________ .
23.若存在实数p∈[﹣1,1],使得不等式px2+(p﹣3)x﹣3>0成立,则实数x的取值范围为 _________ .
参考答案
1若在x∈[1,+∞)上恒成立,则a的取值范围是(﹣∞,].
解:
∵=a﹣1﹣,∴lnx+≥a﹣1,
∵在x∈[1,+∞)上恒成立,
∴y=x+在x∈[1,+∞)上的最小值不小于a﹣1,
∵,令=0,得x=1,或x=﹣1(舍),
∴x∈[1,+∞)时,>0,∴y=x+在x∈[1,+∞)上是增函数,
∴当x=1时,y=x+在x∈[1,+∞)上取最小值=,故,所以a.
点评:
本题考查实数的取值范围的求法,具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化思想等知识点的灵活运用,解题时要关键是在x∈[1,+∞)上恒成立等价转化为y=x+在x∈[1,+∞)上的最小值不小于a﹣1.
2.若不等式x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,则实数a的取值范围 (29,+∞) .
解答
解:
记F(x)=x4﹣4x3∵x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,
∴F(x)在R上的最小值大于2﹣a求导:
F′(x)=4x3﹣12x2=4x2(x﹣3)
当x∈(﹣∞,3)时,F′(x)<0,故F(x)在(﹣∞,3)上是减函数;
当x∈(3,+∞)时,F′(x)>0,故F(x)在(3,+∞)上是增函数.
∴当x=3时,函数F(x)有极小值,这个极小值即为函数F(x)在R上的最小值
即[F(x)]min=F(3)=﹣27因此当2﹣a<﹣27,即a>29时,等式对任意实数x都成立
点评:
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点,属于中档题.
3.设a>0,函数,若对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围为 [e﹣2,+∞) .
解答
解:
求导函数,可得g′(x)=1﹣,x∈[1,e],g′(x)≥0,∴g(x)max=g(e)=e﹣1
,令f'(x)=0,∵a>0,x=±
当0<a<1,f(x)在[1,e]上单调增,∴f(x)min=f
(1)=1+a≥e﹣1,∴a≥e﹣2;
当1≤a≤e2,f(x)在[1,]上单调减,f(x)在[,e]上单调增,
∴f(x)min=f()=≥e﹣1恒成立;
当a>e2时f(x)在[1,e]上单调减,∴f(x)min=f(e)=e+≥e﹣1恒成立综上a≥e﹣2
点评:
本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,解题的关键是将对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,转化为对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x)min≥g(x)max.
4.若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a取值范围是 .
解答:
解:
显然x=1时,有|a|≥1,a≤﹣1或a≥1.令g(x)=ax3﹣lnx,
①当a≤﹣1时,对任意x∈(0,1],,g(x)在(0,1]上递减,g(x)min=g
(1)=a≤﹣1,此时g(x)∈[a,+∞),|g(x)|的最小值为0,不适合题意.
②当a≥1时,对任意x∈(0,1],,∴
函数在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增
∴|g(x)|的最小值为≥1,解得:
.
点评:
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,正确求导是关键.
5.设函数f(x)的定义域为D,令M={k|f(x)≤k恒成立,x∈D},N={k|f(x)≥k恒成立,x∈D},已知,其中x∈[0,2],若4∈M,2∈N,则a的范围是 .
解
解:
由题意,x∈[0,2]时,,∴
令,则g′(x)=x2﹣x=x(x﹣1)
∵x∈[0,2],∴函数在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增∴x=1时,g(x)min=﹣
∵g(0)=0,g
(2)=∴g(x)max=∴2﹣a≤﹣且4﹣a≥∴
6.f(x)=ax3﹣3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,则a的范围为 [4,+∞] .
解答:
解:
∵x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,即ax3﹣3x+1≥0,x∈[0,1]恒成立
当x=0时,要使不等式恒成立则有a∈(0,+∞)
当x∈(0,1]时,ax3﹣3x+1≥0恒成立,即有:
在x∈(0,1]上恒成立,
令,必须且只需a≥[g(x)]max由>0得,
所以函数g(x)在(0,]上是增函数,在[,1]上是减函数,所以=4,即a≥4
点评:
本题考查函数的导数,含参数的不等式恒成立为题,方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题,考查了分类讨论的数学思想方法.
7.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是 .
:
解:
方法1:
可以看作y1=x3,y2=3b(x﹣1),且y2<y1x3的图象和x2类似,只是在一,三象限,
由于[1,2],讨论第一象限即可直线y2过(1,0)点,斜率为3b.
观察可知在[1,2]范围内,直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值.
对y1求导得相切的斜率3(x2),相切的话3b=3(x2),b的最大值为x2.
相切即是有交点,y1=y23x2(x﹣1)=x3x=1.5则b的最大值为x2=9/4,那么b<9/4.
方法2:
f(x)=x^3﹣3bx+3bf'(x)=3x^﹣3bb≤0时,
f(x)在R上单调增,只需f
(1)=1>0,显然成立;
b>0时,令f'(x)=0x=±√b﹣﹣﹣>f(x)在[√b,+∞)上单调增,在[﹣√b,√b]上单调减;
如果√b≤1即b≤1,只需f
(1)=1>0,显然成立;
如果√b≥2即b≥4,只需f
(2)=8﹣3b>0﹣﹣﹣>b<8/3,矛盾舍去;
如果1<√b<2即1<b<4,必须f(√b)=b√b﹣3b√b+3b>0
﹣b(2√b﹣3)>0√b<3/2b<9/4,即:
1<b<9/4综上:
b<9/4
8.不等式x3﹣3x2+2﹣a<0在区间x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a的取值范围(2,+∞).
解答:
解:
原不等式等价于x3﹣3x2+2<a区间x∈[﹣1,1]上恒成立,
设函数f(x)=x3﹣3x2+2,x∈[﹣1,1]求出导数:
f/(x)=3x2﹣6x,由f/(x)=0得x=0或2
可得在区间(﹣1,0)上f/(x)>0,函数为增函数,
在区间(0,1)上f/(x)<0,函数为减函数,
因此函数在闭区间[﹣1,1]上在x=0处取得极大值f(0)=2,并且这个极大值也是最大值
所以实数a>2
9.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k的取值范围是 (﹣∞,1] .
解答:
解:
G(x)=f(x)﹣y=ex﹣kx+1,G′(x)=ex﹣k,
∵x∈(0,+∞)∴G′(x)单调递增,
当x=0时G′(x)最小,当x=0时G′(x)=1﹣k
当G′(x)>0时G(x)=f(x)﹣y=ex﹣kx+1单调递增,在x=0出去最小值0
所以1﹣k≥0即k∈(﹣∞,1].
10.设函数f(x)=ax3﹣3x+1,若对于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 4
解答:
解:
由题意,f′(x)=3ax2﹣3,
当a≤0时3ax2﹣3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需f
(1)≥0即可,解得a≥2,与已知矛盾,
当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣3=0解得x=±,
①当x<﹣时,f′(x)>0,f(x)为递