动点问题含答案范本模板Word格式.docx
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,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;
动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?
若存在,求出此时t的值;
若不存在,请说明理由;
(4)探究:
t为何值时,△PMC为等腰三角形.
点评:
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.
4.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?
如果能,求x的值;
如果不能,请说明理由.
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.
5.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;
点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容.
6.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°
BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系;
(2)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题
(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.
7.直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t(秒),△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)当S=485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题
(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.
1.分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.
(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:
(1)∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24—t=3t
解得:
t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2)过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC—PD=2CE
即3t—(24-t)=4
解得:
t=7(s)
即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3)由题意知:
QC—PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t—(24-t)=2
t=6.5(s)
即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.
2.分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
(3)利用已知条件及正方形的性质解答.
(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形.
如图AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠ACB,
同理,∠ACF=∠ACG,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)=×
180°
=90°
,
∴四边形AECF是矩形.
(3)△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形,
∴AC⊥EN,故∠AOM=90°
∴∠BCA=∠AOM,
∴∠BCA=90°
∴△ABC是直角三角形.
3。
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC—AQ=BC—AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;
∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:
CA=CN:
CB,
(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值.
(4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论:
①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.
②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值.
综上所述可得出符合条件的t的值.
解答:
(1)∵AQ=3—t
∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM==,CM=.
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形
∴PC=QD,即4-t=t
解得t=2.
(3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有:
MN+NC=AM+BN+AB
即:
(1+t)+1+t=(3+4+5)
t=(5分)
而MN=NC=(1+t)
∴S△MNC=(1+t)2=(1+t)2
当t=时,S△MNC=(1+t)2=≠×
4×
3
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)①当MP=MC时(如图1)
则有:
NP=NC
即PC=2NC∴4—t=2(1+t)
t=
②当CM=CP时(如图2)
则有:
(1+t)=4—t
③当PM=PC时(如图3)
在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2
PN=NC—PC=(1+t)—(4—t)=2t-3
∴[(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2
t1=,t2=-1(舍去)
∴当t=,t=,t=时,△PMC为等腰三角形
4.分析:
以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;
或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值.
以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;
当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形.
(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1=-1,x2=—-1(舍去).
因为BQ+CM=x+3x=4(—1)<20,此时点Q与点M不重合.
所以x=-1符合题意.
②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5.
此时DN=x2=25>20,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x的值为-1.
(2)由
(1)知,点Q只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,
由20-(x+3x)=20-(2x+x2),
解得x1=0(舍去),x2=2.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,
由20—(x+3x)=(2x+x2)-20,
解得x1=—10(舍去),x2=4.
当x=4时四边形NQMP是平行四边形.
所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
(3)过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F.
由于2x>x,
所以点E一定在点P的左侧.
若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,
则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,
即2x-x=x2-3x.
解得x1=0(舍去),x