初二数学面积法几何专题文档格式.docx

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（一）证明面积问题常用的理论依据

1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可

由S△CFE＝S△CFB

故可得出S△AEF＝S△ABC

证明：

∵AD//BE//CF

∴△ADB和△ADE同底等高

∴S△ADB＝S△ADE

同理可证：

S△ADC＝S△ADF

∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF

又∵S△CEF＝S△CBF

∴S△ABC＝S△AEF

∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC

∴S△DEF＝2S△ABC

2.作平行线法

例2.已知：

在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点

分析：

由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h

过M作MN//AB

∵M为腰BC的中点

∴MN是梯形的中位线

设梯形的高为h

（二）用面积法解几何问题

有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：

性质1：

等底等高的三角形面积相等

性质2：

同底等高的三角形面积相等

性质3：

三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半

性质4：

等高的两个三角形的面积比等于底之比

性质5：

等底的两个三角形的面积比等于高之比

1.证线段之积相等

例3.设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：

AD·

BC＝BE·

AC＝CF·

AB

从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。

∵AD、BE、CF是△ABC的三条高

2.证等积问题

例4.过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：

S△ABF＝S△ADE

因为AB//DF，所以△ABF与△ABC是同底AB和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。

连结AC

∵CF//AB

又∵CE//AD

3.证线段之和

例5.已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求证：

PE+PF＝BH

已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP，则

故PE+PF＝BH

连结AP，则

∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC

又∵BH⊥AC

∴PE+PF＝BH

4.证角平分线

例6.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AE＝CF，连AE、CF交于P，求证：

BP平分∠APC。

要证BP平分∠APC，我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是△ABE和△BFC的高相等即可，又由已知AE＝FC可联想到三角形的面积，因此只要证出S△ABE＝S△BCF即可

由平行四边形ABCD可得S△ABE＝S△ABC，S△BFC＝S△ABC

所以S△ABE＝S△BFC，因此问题便得解。

连结AC、BE、BF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴S△ABE＝S△ABC

S△BFC＝S△ABC

∴S△ABE＝S△BFC

又∵AE＝CF

而△ABE和△BFC的底分别是AE、CF

∴△ABE和△BFC的高也相等

即B到PA、PC的距离相等

∴B点在∠APC的平分线上

∴PB平分∠APC

【模拟试题】

（答题时间：

25分钟）

1.在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：

S△ABE＝S△ADF

2.在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，求证：

3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：

4.已知：

E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证：

5.在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比。

【试题答案】

1.证明：

连结AC，则

又∵E、F分别为BC、CD的中点

2.证明：

过M作MN//DC//AB

∵M为腰BC上的中点

∴△DCM和△ABM的高相等，设为h1

又∵△DMN与△AMN的高也为h1

∵MN为梯形的中位线

∴

3.证明：

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB

∴两边同时除以得：

4.证明：

连结FD、FG、FC

则由已知可得①

作DM//AB，设它们之间的距离为h，G到DM的距离为a，则由已知可得H、C到DM的距离分别为2a、3a

即②

①+②得：

5.证明：

作DF//AC交BE于F

可得△DFG≌△CEG

而

∴△ABC和四边形ADGE的面积比是12：

5