最新整理3 正方形基础知识讲解+练习docWord文档下载推荐.docx

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②∠AEB=75°

；

③BE+DF=EF；

④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；

根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°

判断②的正误；

根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

【答案与解析】

解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

∴CE=CF，

∴①说法正确；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°

∵∠AEF=60°

∴∠AEB=75°

∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③说法错误；

∵EF=2，

∴CE=CF=，

设正方形的边长为a，

在Rt△ADF中，

a2+（a﹣）2=4，

解得a=，

则a2=2+，

∴S正方形ABCD=2+，

④说法正确，

∴正确的有①②④．

故选C．

【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．

举一反三：

【变式1】已知：

如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且

CE＝CF，连接DE，BF．求证：

DE＝BF．

【答案】

证明：

∴BC＝DC，∠BCD＝90°

∵E为BC延长线上的点，

∴∠DCE＝90°

∴∠BCD＝∠DCE．

在△BCF和△DCE中，

∴△BCF≌△DCE（SAS），

∴BF＝DE．

【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）例1】

【变式2】

（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．75°

B．60°

C．55°

D．45°

【答案】B；

提示：

∴∠BAD=90°

，AB=AD，∠BAF=45°

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE=60°

，AD=AE，

∴∠BAE=90°

+60°

=150°

，AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB=（180°

﹣150°

）=15°

∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°

+15°

=60°

故选：

B．

2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

（1）证明：

△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB＝30°

，求EF的长．

【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．

∴AD＝AB，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴△DAF≌△ABE．

（2）解：

∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠AGB＝30°

∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°

∵∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝90°

∴∠AFD＝180°

－（∠1＋∠3）＝90°

∴DF⊥AG，

∴DF＝

∴AF＝

∵△ABE≌△DAF，

∴AE＝DF＝1，

∴EF＝

【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．

【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：

FN＝EC．

在正方形ABEF中和正方形BCMN中，

AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°

∵AB＝2BC，即BC＝BN＝

∴BN＝，即N为BE的中点，

∴EN＝NB＝BC，

∴△FNE≌△ECB，

∴FN＝EC．

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：

或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；

或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

类型二、正方形的判定

3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?

请说明理由．

是正方形，理由如下：

作DG⊥AB于点G．

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG．

同理可得：

DG＝DE．∴DF＝DE．

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°

∴四边形CEDF是矩形．

∵DF＝DE．

∴四边形CEDF是正方形．

【总结升华】

（1）本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．

（2）证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．

【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：

四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？

并说明理由．

∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，

∵∠AOC＋∠BOC＝180°

∴2∠COD＋2∠COF＝180°

∴∠COD＋∠COF＝90°

∴∠DOF＝90°

∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），

∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），

∴∠CDO＝90°

∵CF⊥OF，

∴∠CFO＝90°

∴四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC＝90°

时，四边形CDOF是正方形；

理由如下：

∵∠AOC＝90°

，AD＝DC，

∴OD＝DC；

又由

（1）知四边形CDOF是矩形，则

四边形CDOF是正方形；

因此，当∠AOC＝90°

时，四边形CDOF是正方形．

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

类型三、正方形综合应用

4、如图，在平面直角坐标系中，边长为（为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动（轴的正半轴、轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．

（1）当∠BAO＝45°

时，求点P的坐标；

（2）求证：

无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（1）当∠BAO＝45°

时，∠PAO＝90°

在Rt△AOB中，OA＝AB＝，在Rt△APB中，PA＝AB＝．

∴点P的坐标为．

（2）如图过点P分别作轴、轴的垂线垂足分别为M、N，

则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°

∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°

∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，

∴△PAM≌△PBN，

∴PM＝PN，

又∵PN⊥ON，PM⊥OM

于是，点P在∠AOB的平分线上.

【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.

【巩固练习】

一.选择题

1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

2.（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A.四条边相等B.对角线互相垂直平分

C.对角线平分一组对角D.对角线相等

3.如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（）．

A.6B.8C.16D.不能确定

4.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A．B.C.D.

6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A．4个B．6个C．8个D．10个

二.填空题

7．若正方形的边长为，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．

8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.

9.如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.

10.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.

11.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°

，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　．

三.解答题

13．已知：

如图，正方形AB