圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程Word格式文档下载.docx

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典题妙解

下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.

（Ⅰ）当轴时，求p，m的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；

O

A

B

x

y

（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

C

D

P

例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.

（1）设P点的坐标为，证明：

＜1.

（2）求四边形ABCD的面积的最小值.

例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点.已知、、成等差数列，且与同向.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

OFx

N

M

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

金指点睛

1.已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_________.

2.过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________.

3.已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.

4.已知抛物线（＞0），弦AB过焦点F，设，△AOB的面积为S，求证：

为定值.

5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.

6.（07重庆文第22题）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.

7.点M与点的距离比它到直线的距离小1.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；

C、D.求四边形ACBD的最小面积.

8.已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线.

（1）求双曲线的方程；

（2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；

C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案

证明：

设双曲线方程为（＞0，＞0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为

.

代入双曲线方程并整理得：

由t的几何意义可得：

例1.解：

（Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，，直线AB的方程为.

从而点A的坐标为或.

点A在抛物线上，

即

此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.

（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.

则直线AB的方程为.

抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率，于是有

又AB过椭圆的右焦点，通径，离心率.

解之得：

抛物线的焦点在直线上，

，从而.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为

例2.

（1）证明：

在中，.

O是的中点，

得

点P在圆上.

显然，圆在椭圆的内部.

故＜1.

（2）解：

如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.

通径，离心率.

又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是

四边形ABCD的面积

故四边形ABCD面积的最小值为.

例3，解：

（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.

、、成等差数列，设，公差为d，则，，

.即.

.从而，.

又设直线的倾斜角为，则.的方程为.

而

（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则.

.而

通径.

又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：

即.

解得，从而.

所求的椭圆方程为.

1.解：

，离心率，通径，直线的倾斜角.

2.解：

3.解：

，，左焦点，离心率，通径.

当直线的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.

当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.

△AOB的面积.

0＜＜，

＞0.从而.

当且仅当，即时，“=”号成立.故△AOB的最大面积为.

4.解：

焦点为，通径.

当直线AB的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.

，是定值.

当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.

不论直线AB在什么位置，均有（为定值）.

5.解：

在椭圆中，

由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点，且.

如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角.

通径，离心率.于是有

四边形PQMN的面积

故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.

6.（Ⅰ）解：

，抛物线的焦点F的坐标为，

准线的方程为.

（Ⅱ）证明：

作于C，于D.通径.

则.

，

从而.

故为定值，此定值为8.

7.解：

（1）根据题意，点M与点的距离与它到直线的距离相等，

点M的轨迹是抛物线，点是它的焦点，直线是它的准线.

从而，.

F

Ox

所求的点M的轨迹方程是.

（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，

它们的斜率都存在.如图，设直线AB的倾斜角为，

则直线CD的倾斜角为.

抛物线的通径，于是有：

四边形ACBD的面积

当且仅当取得最大值1时，，这时.

四边形ACBD的最小面积为128.

8.解：

（1）在椭圆中，，其焦点为、.

在抛物线中，，其准线方程为.

在双曲线中，，.

所求的双曲线的方程为.

（2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，

它们的斜率都存在.如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.

双曲线的通径，离心率.于是有：

Ox

四边形ACBD的面积

=18

四边形ACBD的最小面积为18.