高中数学竞赛模拟试题一汇总讲课稿Word文档下载推荐.docx

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二、解答题（共3题，）

9、设数列满足条件：

，且）

求证：

对于任何正整数n，都有：

10、已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点。

（1）若，求证：

的面积为定值；

（2）若的面积等于面积的，求证：

11、已知、是方程的两个不等实根，函数

的定义域为.

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明：

对于，若，则.

二试

150分钟总分：

200分）

一、（本题50分）如图，和与的三边所在的三条直线都相切，为切点，并且、的延长线交于点。

直线与垂直。

二、（本题50分）正实数，满足。

证明：

三、（本题50分）对每个正整数，定义函数

（其中表示不超过的最大整数，。

试求：

的值。

四、（本题50分）在世界杯足球赛前，国的教练员为了考察这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场比赛90分钟）中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？

答案与解析

一、填空题

1、。

.时取最小值,此时=。

2、4。

解：

将记做，于是有

从89开始，是周期为8的周期数列。

故

3、。

连结,作，垂足为，延长交于，则，连结，由对称性知是二面角的平面角。

连结，设，则

中，，

在

的补角，。

4、。

三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足。

对于给定的可以取.

故三数成递增等差数列的个数为

三数成递增等差数列的概率为。

5、。

由条件，有，

令；

则，

从而原条件可化为：

令则，解得，

6、解：

经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为，则圆的方程为：

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过三点的圆S必与轴相切于点，即圆的方程中的值必须满足解得或.

即对应的切点分别为和，而过点的圆的半径大于过点的圆的半径，所以，故点为所求，所以点的横坐标为

7、.

解：

设

即

故数列是公比为2的等比数列，

8、解：

（由调和平均值不等式）

要使上式等号成立，当且仅当

（1）－

（2）得到，

即得。

因为，

所以当时，。

所以。

二、解答题

9、证明：

令,则有，且

于是

由算术-几何平均值不等式，可得

注意到，可知

，即

10、解：

（1）设直线：

代入得：

，得：

，

设，，则有，，

设，，

易得：

，，

由得，

故，

代入得，

整理得：

又，，，

为定值.

（2）设中点为，中点为

则，，

所以，、重合，从而，

从而，又的面积等于

面积的，所以，

从而.

11、解：

（Ⅰ）设

则

又

故在区间上是增函数。

（Ⅱ）证：

而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，

一、证明：

延长交于，则和分别是

与的截线，由梅涅劳斯定理得：

①

②

都是的旁切圆，

③

于是由①、②、③得：

=

∴==

而三点共线，且

∴

二、证明：

原不等式可变形为

即

由柯西不等式以及可得

同理

上面三式相加并利用得

三、解：

对任意，若，则，设

则

让a跑遍区间）中的所有整数，

于是……①

下面计算画一张的表，第行中，凡是行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；

另一方面，按列收集“*”号数，第列中，若有个正因数，则该列使有个“*”号，故全表的“*”号个数共

个，因此

示例如下：

1

2

3

4

5

6

*

……②

由此，……③

记易得的取值情况如下：

7

8

9

10

11

12

13

14

15

因此，……④

据定义，

又当，

，

，则……⑤

从则

四、解：

设各人上场时间分别为（为正整数）．

得方程

令得方程.

即求此方程满足的整数解．

即

相应的

的解只有1种，的解有种，

的解有种；

的解有种，

的解有种，

的解有种．

∴共有种。