高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)Word文档下载推荐.doc
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=
因为,
例2已知:
a>b>c>0,求证:
>.
=
>
==1
>1
>
二、分析法
分析法:
从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立.
例3求证
为了证明原不等式成立,只需证明
即,
只需证明
成立
原不等式成立
运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径.
三、综合法
从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法.
例4已知,,求证:
∵∴1=
∴
又∵
∴.
四、反证法
从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的,这种证明方法叫做反证法.用反证法证明不等式时,必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾.
反证法证明一个命题的思路及步骤:
(1) 假定命题的结论不成立;
(2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:
与已知条件矛盾;
与公理或定理矛盾;
(3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;
(4) 肯定原来命题的结论是正确的.
例5已知,求证:
由知,假设,则
又因为,所以,即
从而,与已知矛盾.
假设不成立,从而
同理,可证
五、放缩法
放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.否则不能达到目的.
例6设、、是三角形的边长,求证
由不等式的对称性,不妨设,则
且,
∴
∴
六、数学归纳法
对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成立,那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.
例7证明:
(1)当时,左边=;
右边=1,左边右边.所以原不等式成立.
当=2时,左=,右==4,所以左右;
当=3时,左=,右==9,所以左右.
因此当时,不等式成立.
(2)假设当(且)时,不等式成立.即.
因为
=
=(因,则,)
所以,.故当时,原不等式也成立.
根据
(1)和
(2),原不等式对于任何都成立.
七、换元法
在证明过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明得到简化.
例8已知且求证:
设其中
则
=
=
原不等式得证.
例9已知:
,求证:
设,,则,
所以
例10已知且,求证:
因为且
所以设
则
=
即
原不等式成立.
八、利用均值不等式
均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“(一正、二定,三相等).
均值不等式公式:
①(当且仅当时取“”);
②(当且仅当时取“”).
例11已知a,b,c为不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>
6abc.
∵b2+c2≥2bc,a>
0,∴a(b2+c2)≥2abc
同理,b(c2+a2)≥2bac,c(a2+b2)≥2cab,
又因为a,b,c不全相等,
所以上述三个不等式中等号不能同时成立,
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>
6abc.
例12若,求证:
因为所以
当且仅当,即时等号成立
九、导数法
当属于某区间,有,则单调递增;
若,则单调递减.推广之,若证,只须证及即可.
例13证明不等,
设则故当时,递增;
当递减.
则当时,
从而证得
十、利用柯西不等式
设均为实数,则,当且仅当时成立.
例14若,求证:
分析:
此题在前面可用均值不等式解,这儿也可以用柯西不等式解.
十一、在不等式两端取变限积分证明新的不等式
例15证明:
时,.
证明:
已知,(时只有时等号成立),在此式两端同时取上的积分得,对得到的不等式取上的积分得到,第三次取在上的积分得
即,继续在上积分两次即可得,所以.
结束语:
不等式知识在高中尤为重要,在学术上也有很大的研究的余地,本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容,更深层的知识有待学者继续研究.
参考文献:
[1]傅荣强,于长军.《龙门专题高中数学不等式》[M].龙门书局出版社,2007:
58—88
[2]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9).
[3]王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11).
[4]普片多,例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院
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