考研试题1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及解析Word文档格式.docx

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（5）设阶方阵、、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有（）

（C）（D）

三、（本题满分15分,每小题5分.）

（1）求.

（2）设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数

在点处沿方向的方向导数.

（3）,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.

四、（本题满分6分）

在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.

五、（本题满分8分.）

将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

的和.

六、（本题满分7分.）

设函数在[0,1]上连续,（0,1）内可导,且,证明在（0,1）内存在一点,使.

七、（本题满分8分.）

已知,,,,及

.

（1）、为何值时,不能表示成的线性组合？

（2）、为何值时,有的唯一的线性表示式？

并写出该表示式.

八、（本题满分6分）

设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数（是法线与轴的交点）,且曲线在点（1,1）处的切线与轴平行.

十、填空题（本题满分6分,每小题3分.）

（1）若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则

=_______.

（2）随机地向半圆（为正常数）内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量的概率密度为

求随机变量的分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

（1）

【答案】

【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即

如果,则.

所以,

再对求导,由复合函数求导法则得

（2）

【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.

将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得

再由全微分四则运算法则得

令,得,即.

（3）

【解析】所求平面过直线,因而过上的点；

因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程

即.

（4）

【解析】因为当时,,

当时,所以有

所以.

因为当时,与是等价无穷小,所以,故.

（5）

【答案】.

【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.

注意：

.

对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：

则求的伴随矩阵

如果,这样

再利用分块矩阵求逆的法则：

易见

二、选择题（本题共5个小题,每小题3分,满分15分.）

（D）

【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,

所以为铅直渐近线,

所以为水平渐近线.

所以选（D）.

【相关知识点】铅直渐近线：

如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：

当,则为函数的水平渐近线.

（B）

【解析】令,则,所以

两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解之得,其中是常数.

又因为,代入,得,得

即.

（C）

【解析】因为

（收敛级数的结合律与线性性质）,

而

故应选（C）.

（A）

【解析】如图,将区域分为四个子区域.

显然,关于轴对称,关于轴对称.

令,

由于对及对都是奇函数,所以

.

而对是偶函数,对是奇函数,故有

故选（A）.

【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.

由于、、均为阶矩阵,且,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式

得到、、,知、、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有,故应选（D）.

其实,对于先右乘再左乘,有.

【解析】这是型未定式求极限.

令,则时,所以

因为当时,,所以

故.

【解析】先求方向的方向余弦,再求,最后按方向导数的计算公式

求出方向导数.

曲面在点处的法向量为

在点处指向外侧,取正号,并单位化得

又,

所以方向导数

【解析】由曲线绕轴旋转一周而围成的旋转面方程是.

于是,是由旋转抛物面与平面所围成.曲面与平面的交线是

选用柱坐标变换,令,于是

因此

【解析】曲线,则,所以

对关于的函数两边对求导数,其中,并令得

所以,且.

故为函数的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为

【解析】按傅式级数公式,先求的傅式系数与.因为偶函数,所以

因为在区间上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以

令,有,所以,.

所以,,即.

【解析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得

由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.

七、（本题满分8分）

【解析】设,按分量写出,则有

对方程组的增广矩阵作初等行变换:

第一行分别乘以有、加到第三行和第四行上,再第二行乘以、加到第三行和第四行上,有

所以,当时,,方程组无解.即是不存在使得

成立,不能表示成的线性组合；

当时,方程组有唯一解,

故有唯一表达式,且.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是（或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组）.

设是矩阵,线性方程组,则

（1）有唯一解

（2）有无穷多解

（3）无解

不能由的列向量线表出.

【解析】方法1：

因为为阶正定阵,故存在正交矩阵,使

其中,是的特征值.

两端取行列式得,

从而.

方法2：

设的个特征值是由于为阶正定阵,故特征值全大于0.

由为的特征值可知,存在非零向量使,两端同时加上,

得.按特征值定义知是的特征值.因为的特征值是它们全大于1,根据,知.

【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：

设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.

【解析】曲线在点处的法线方程为

（当时）,

它与轴的交点是,从而

当时,有,上式仍然成立.

因此,根据题意得微分方程

即.这是可降阶的高阶微分方程,且当时,.

令,则,二阶方程降为一阶方程,即.

即,为常数.

因为当时,,所以,即,

所以.分离变量得.

令,并积分,则上式左端变为

因曲线在上半平面,所以,即.

当时,

当前取+时,,,

；

当前取时,,,

；

【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数和,否则应先根据题设条件求出,,再计算有关事件的概率,本题可从

通过查表求出,但是注意到所求概率即是与之间的关系,可以直接由的值计算出.

因为,所以可标准化得,

由标准正态分布函数概率的计算公式,有

由正态分布函数的对称性可得到.

【解析】设事件=“掷的点和原点的连线与轴的夹角小于”,

这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式

而,

【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有

当时,.

因为在直线的下方

与（即第一象限）没有公共区域,

所以.

当时,在直线

的上方与第一象限相交成一个三角形区域,此即为积分区间.

所以的分布函数