高考文科数学试题及参考答案湖南卷.docx

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高考文科数学试题及参考答案湖南卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．不等式的解集是（）

A．B．C．D．

2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

A．B．

C．D．

3．设（），关于的方程（）有实数，

则是的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（）

A．B．C．D．

5．在（）的二项展开式中，若只有的系数最大，则（）

A．8B．9C．10D．11

6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）

A．与垂直B．与垂直

C．与异面D．与异面

7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流

水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文

观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）

A．48米B．49米C．50米D．51米

8．函数的图象和函数的图象的交点个数是（）

A．1B．2C．3D．4

9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

10．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：

对任意的，（，），

都有（表示两个数中的较小者），

则的最大值是（）

A．10B．11C．12D．13

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11．圆心为且与直线相切的圆的方程是．

12．在中，角所对的边分别为，若，，

，则．

13．若，，则．

14．设集合，，

（1）的取值范围是；

（2）若，且的最大值为9，则的值是．

15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的

表面积是；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线

被球截得的线段长为．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数．求：

（I）函数的最小正周期；

（II）函数的单调增区间．

17．（本小题满分12分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．

18．（本小题满分12分）

如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；（II）求二面角的大小．

19．（本小题满分13分）

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，

点的坐标是．

（I）证明为常数；

（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

20．（本小题满分13分）

设是数列（）的前项和，，且，，．

（I）证明：

数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的

所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

21．（本小题满分13分）

已知函数在区间，内各有一个极值点．

（I）求的最大值；

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在

点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，

经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．D2．B3．A4．B5．C6．D7．C8．C9．D10．B

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11．

12．

13．3

14．

（1）

（2）

15．，

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：

．

（I）函数的最小正周期是；

（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．

17．解：

任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机

培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）解法一：

任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：

任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

（II）解法一：

任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

．

3人都参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

解法二：

任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

．

3人都没有参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

18．解：

（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，，所以，

又因为，所以．

而，所以，，从而，又，

所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：

由（I）知，，又，，，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设，则，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小为．

解法二：

由（I）知，，，，故可以为原点，分别

以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，，

所以．

则相关各点的坐标分别是

，，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

易知是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．

19．解：

由条件知，设，．

（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

此时．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入，有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

综上所述，为常数．

（II）解法一：

设，则，，

，，由得：

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

解法二：

同解法一得……………………………………①

当不与轴垂直时，由（I）有．…………………②

．………………………③

由①、②、③得．　…………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

20．解：

（I）当时，由已知得．

因为，所以．…………………………①

于是．…………………………………………………②

由②－①得：

．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：

．…………………………………………………⑤

即数列（）是常数数列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，

而⑤表明：

数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．

所以，，．

由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．

若是数列中的第项，由得，取，

得，此时，由，得，，

从而是数列中的第项．

（注：

考生取满足，的任一奇数，说明是数列

中的第项即可）

21．解：

（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且．于是

，，且当，即，

时等号成立．故的最大值是16．

（II）解法一：

由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：

同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近

的函数值异号，于是存在（）．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则

所以，又由，得，故．