二面角的求法Word文件下载.docx

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二、三垂线法

三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．（山东卷理）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

（1）证明：

直线EE//平面FCC；

（2）求二面角B-FC-C的余弦值。

变式2：

（天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形．

已知．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

三．补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例3（湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°

，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.

（Ⅰ）证明：

平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

变式3-1:

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求证：

AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。

变式3-2:

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

四、射影面积法（）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。

例4:

（北京理）如图，在三棱锥中，，，

，．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的大小；

变式4：

E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.

五、向量法

1.法向量

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例5：

（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD

（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（II）证明平面AMD平面CDE；

求二面角A-CD-E的余弦值。

变式5：

（湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

2.向量外积法

定义：

设是2个空间向量，的向量积垂直于并且的方向符合右手法则.

定理：

设，则

具体步骤：

（1）建立空间直角坐标系；

（2）取与二面角的棱共线的向量，在平面内分别取不与共线的向量（注意方向）；

（3）将放在前面作向量积分别求出平面的法向量，即；

（4）利用向量夹角公式，求出的值，此时无需再进行判断，就是所求二面角的余弦值.

例6：

（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

变式6：

（广东卷理）如图，ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a．

（1）证明：

EB⊥FD；

（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．

立体几何真题汇编

1.（2013山东卷理18）如图所示，在三棱锥中，平面，,分别是的中点，，与交于点，与交于点，连接。

∥；

（2）求二面角的余弦值。

2.（2013陕西卷理18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，。

平面；

（2）求平面与平面的夹角的大小。

3.如图，直三棱柱中，分别的中点，.

∥平面；

（2）求二面角的正弦值。

4.（2013新课标1卷18）如图，三棱柱中，,,

（2）若平面平面,，求直线与平面所成角的正弦值

5.（2013江西卷理19）如图，四棱锥中，平面，为中点，为中点，≌,，,连结并延长交于点。

（2）求平面与平面的夹角的余弦值。

6.四棱锥中，,,和都是等边三角形。

（2）求二面角的大小。

7.（2013辽宁卷理18）如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点。

平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值。

8.在直棱柱中，∥，，，,

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

9.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.

（2）求二面角的余弦值；

（3）证明：

在线段上存在点，使得，并求的值。

10.（2013天津卷理17）如图，四棱柱中，侧棱底面，∥，,,,为棱的中点。

;

（2）求二面角的正弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长。

11.（2013重庆卷理19）如图，四棱锥中，底面，,,，是的中点，。

（1）求的长；

12.是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点.

（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：

.

13.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．

（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．

14.（2013广东卷理18）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎，其中

（2）求二面角平面角的余弦值．

15.（2013安徽卷理19）如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.50,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为600，

（1）证明:

平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;

（2）求cosCOD.

16.如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.

平面;

（2）若二面角的大小为，求的大小.

17.（2013福建卷理19）如图，在四棱柱中，侧棱底面，∥，，，，，。

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；

（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：

若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案?

在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的的表面积为，写出的解析式（直接写出答案，不必说明理由）

18.如图，在直棱柱中，,,,是中点，点在棱上运动。

（2）当异面直线所成的角为时，求三棱锥的体积。

19．（2013新课标2卷文18）如图，直三棱柱中，分别的中点。

（2）设,,求三棱锥的体积。

20.（2013江西卷文19）如图，直四棱锥中，∥,,，，,为上一点，

平面

（2）求点到平面的距离

21.（2013辽宁卷文18）如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点。

（2）若为的中点，为的重心，求证：

∥平面

22.（2013大纲卷文19）如图，四棱锥中，,,和都是边长为2等边三角形。

23.（2013陕西卷文18）如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.

（Ⅰ）证明:

A1BD//平面CD1B1;

（Ⅱ）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

24.（2013山东卷文19）如图，四棱锥中，，，∥，，分别为的中点。

（2）求证：

平面⊥平面

25.（2013北京卷文17）如图，四棱锥中，∥，,,平面底面，，和分别是和中点。

求证：

（1）底面；

（2）∥平面；

（3）平面平面

26.（2013重庆卷文19）如图，四棱锥中，底面，，,。

（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积

27.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积。

（锥体体积公式：

，其中为底面面积，为高）

28.在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．

（1）证明：

//平面；

（2）证明：

（3）当时，求三棱锥的体积．

29.（2013安徽卷文18）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知.

（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.

30.（2013浙江卷文20）如图，在四棱锥中，面，,,,，为线段上的点。

面；

（2）若是的中点，求与所成的角的正切值；

（3）若满足面，求的值。

31.（2013福建卷文18）如图，在四棱柱

（）若M为PA的中点，求证：

求二面角

（）求三棱锥的体积。