中考数学几何归纳专题.docx

中考数学几何归纳专题.docx

《中考数学几何归纳专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学几何归纳专题.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学几何归纳专题

中考数学几何归纳专题

姓名：

__________

指导：

__________

日期：

__________

9．〔12分〕如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．

〔1〕求证：

CD⊥CG；

〔2〕假设tan∠MEN＝1／3，求MN／EM的值；

〔3〕正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为1／2？

请说明理由．

10．〔12分〕在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t〔秒〕．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．

〔1〕如图，当AB＝BC＝8时，

①假设点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：

AH＝CH；

②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠局部面积为S，求S与t的函数关系式；

〔2〕当AB＝6，BC＝8时，假设直线AH将矩形ABCD的面积分成1：

3两局部，求t的值．

11．〔12分〕如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．

〔1〕假设DP＝2AP＝4，CP＝√17，CD＝5，求△ACD的面积．

〔2〕假设AE＝BN，AN＝CE，求证：

AD＝√2CM+2CE．

12．〔12分〕如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点〔不与B、D重合〕，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N

〔1〕求证：

MN＝MC；

〔2〕假设DM：

DB＝2：

5，求证：

AN＝4BN；

〔3〕如图②，连接NC交BD于点G．假设BG：

MG＝3：

5，求NG·CG的值．

1.【分析】〔1〕结论：

S△ABC：

S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．

〔2〕结论：

S△ABC：

S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．

〔3〕结论：

S△ABC：

S△ADE＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：

〔1〕结论：

S△ABC：

S△ADE＝定值．

理由：

如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，

∴＝＝1．

〔2〕如图2中，S△ABC：

S△ADE＝定值．

理由：

如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．

不妨设∠ADC＝30°，那么AD＝AC，AE＝AB，

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，

∴＝＝．

〔3〕如图3中，如图2中，S△ABC：

S△ADE＝定值．

理由：

如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，

∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．

【点评】此题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

2.【分析】数学理解：

〔1〕由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝〔AF+BE〕；

问题解决：

〔2〕延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC＝∠DAB＝∠CAB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；

联系拓广：

〔3〕由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD，可得AM＝MD，DN＝NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．

【解答】解：

数学理解：

〔1〕AB＝〔AF+BE〕

理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC

∵四边形DECF是正方形∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°

∴∠A＝∠ADF＝45°∴AF＝DF＝CE

∴AF+BE＝BC＝AC∴AB＝〔AF+BE〕

问题解决：

〔2〕如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，

∵四边形DECF是正方形

∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°

∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED

∴△DFM≌△DEB〔SAS〕∴DM＝DB

∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，

∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD

∴△ADM≌△ADB〔SSS〕

∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB

同理可得：

∠ABD＝∠CBD＝∠ABC

∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°

∴∠DAB+∠ABD＝〔∠CAB+∠CBA〕＝45°

∴∠ADB＝180°﹣〔∠DAB+∠ABD〕＝135°

联系拓广：

〔3〕∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC，DF∥BC

∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°

∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD

∴AM＝MD，DN＝NB

在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，∴MN2＝AM2+NB2，

【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是此题的关键．

3.【分析】〔1〕由“AAS〞可证△CEF≌△BEA，可得AB＝CF，即可得结论；

〔2〕延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS〞可证△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，即可得结论；

【解答】解：

〔1〕AD＝AB+DC

理由如下：

∵AE是∠BAD的平分线∴∠DAE＝∠BAE

∵AB∥CD∴∠F＝∠BAE∴∠DAF＝∠F∴AD＝DF，

∵点E是BC的中点∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF

∴△CEF≌△BEA〔AAS〕∴AB＝CF

∴AD＝CD+CF＝CD+AB

〔2〕AB＝AF+CF

理由如下：

如图②，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，∴CE＝BE，

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC〔AAS〕∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是此题的关键．

【分析】〔1〕根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

〔2〕解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出＝，可得DB＝＝＝，由DE∥AB，推出＝，求出AE即可．

〔3〕点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．那么∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得＝＝tan∠ADF＝tan∠B＝，推出AN＝AM＝×12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．

【解答】〔1〕证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE．

〔2〕解：

如图2中，作AM⊥BC于M．

在Rt△ABM中，设BM＝4k，那么AM＝BM·tan∠B＝4k×＝3k，

由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，

∴202＝〔3k〕2+〔4k〕2，

∴k＝4或﹣4〔舍弃〕，

∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2·4k＝32，

∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，

∴＝，∴DB＝＝＝，

∵DE∥AB，∴＝，

∴AE＝＝＝．

〔3〕点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

理由：

作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．那么∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，

∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，

∵AB＝20，tan∠B＝∴BM＝CM＝16，

∴BC＝32，

在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，

∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，

∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴＝＝tan∠ADF＝tan∠B＝，∴AN＝AM＝×12＝9，

∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，

当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，

∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，

∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，

∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．

【点评】此题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

5.【分析】〔1〕根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；

〔2〕过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，得出比例式解答即可；

〔3〕分两种情况：

当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE；点F在AC的延长线上时，BE＞AE，得出，那么，同理：

当点E在AB的延长线上时，，即可得出结论．

【解答】〔1〕证明：

∵G是△ABC重心，∴，

又∵EF∥BC，∴，，

那么；

〔2〕解：

〔1〕中结论成立，理由如下：

如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，

那么△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，

，，

∴，

又∵BM+CM＝BM+CD+DM，

而D是BC的中点，即BD＝CD，

∴BM+CM＝BM+BD+DM＝DM+DM＝2DM，∴，

又∵，∴，故结论成立；

〔3〕解：

〔1〕中结论不成立，理由如下：

当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE，

点F在AC的延长线上时，BE＞AE，

∴，那么，

同理：

当点E在AB的延长线上时，，

∴结论不成立．

【点评】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；此题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．

6.【分析】〔1〕通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；

〔2〕由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD·CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND