矩阵及其运算文档格式.docx

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如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。

7、对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵，我们叫做方程组的系数矩阵；

而矩阵叫做方程组的增广矩阵。

应用举例：

例1、已知矩阵且，求、的值及矩阵。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：

（1）；

（2）

例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

（1）

（2）

例4、已知矩阵为单位矩阵，且，求的值。

矩阵的基本变换：

（1）互换矩阵的两行或两列；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组：

（、为常数）

课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题：

（1）若方程组的解与相等，求的值。

（3）解方程组：

矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）

1．相等

定义如果两个矩阵，满足：

（1）行、列数相同，即；

（2）对应元素相等，即aij=bij（=1,2,…,m；

j=1,2,…,n），

则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵

A=，B=

那么A=B，当且仅当

a11=3，a12=0，a13=-5，a21=-2，a22=1，a23=4

而

C=

因为B,C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11,c12,c21,c22取什么数都不会与矩阵B相等.

2．加法

定义2.3设，是两个mn矩阵，则称矩阵

为A与B的和，记作

C=A+B=

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）

同样，我们可以定义矩阵的减法：

D=A-B=A+（-B）=

称D为A与B的差.

例1设矩阵A=，B=，求A+B，A-B.

例2、矩阵，，，若，，，求的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A,B,C,O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则

1.加法交换律：

A+B=B+A；

2.加法结合律：

（A+B）+C=A+（B+C）；

3.零矩阵满足：

A+O=A；

4.存在矩阵-A，满足：

A-A=A+（-A）=O.

3．数乘

定义2.4设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为

C=A

（由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当=-1时，A=-A，得到A的负矩阵.）

例3设矩阵A=，用2去乘矩阵A，求2A.

数乘矩阵满足的运算规则是什么？

对数k,l和矩阵A=，B=满足以下运算规则：

1.数对矩阵的分配律：

k（A+B）=kA+kB；

2.矩阵对数的分配律：

（k+l）A=kA+lA；

3.数与矩阵的结合律：

（kl）A=k（lA）=l（kA）；

4.数1与矩阵满足：

1A=A.

例4设矩阵A=，B=，求3A-2B.

4．乘法

矩阵乘积的定义设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C=为矩阵A与B的乘积，记作C=AB.其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=（=1,2,…,m；

j=1,2,…,n）.

（由矩阵乘积的定义可知：

）

（1）只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A,B才能作乘法运算AB；

（2）两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；

（3）乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.

例6设矩阵A=，B=，计算AB.

例7设矩阵A=，B=，求AB和BA.

由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；

即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.

在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO,BO）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB=O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB=O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.

一般地，当乘积矩阵AB=AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B=C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.

那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？

矩阵乘法满足下列运算规则：

1.乘法结合律：

（AB）C=A（BC）；

2.左乘分配律：

A（B+C）=AB+AC；

右乘分配律：

（B+C）A=BA+CA；

3.数乘结合律：

k（AB）=（kA）B=A（kB），其中k是一个常数.

例8：

已知，矩阵，求。

练习：

计算下列矩阵的乘法

（2）。

例9、已知矩阵，，，若A=BC，求函数在[1,2]上的最小值.

例10：

将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式

例11：

若，矩阵就称为与可变换，设，求所有与可交换的矩阵。

课堂练习与课后作业

一、选择题

1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件是C、充要条件D、既不充分又不必要条件

2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组其中正确的是（）

A、B、

C、D、

3、若，且，则矩阵___________.

4、点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是___________

5、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b=.

6、若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α=.

7、若点A在矩阵对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A的坐标为.

8、已知，若A=B，那么α+β=.

9、设A为二阶矩阵，其元素满足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩阵A=.

10：

，，且，那么A+AB=。

11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵，那么该线性方程组为。

12、计算:

若矩阵，则___________.

13、计算：

=.

14.线性方程组对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.

15、已知矩阵，则___________.

二、简答题

1.已知，分别计算，猜测；

2.将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:

⑴；

⑵.

3.若，则__________

4、已知矩阵，，，若A=BC，求函数在上的最小值.