第三讲全等三角形Word下载.docx

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△ABD与△ACE中∵∠A=∠A，AE=AD∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AB=AC…………Ⅴ得证∵AE=AD，AB=AC∴BE=DC△BOE与△COD中∵∠B=∠C,BE=DC∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（AAS）∴OB=OC…………Ⅵ得证第四组：

Ⅶ②AB=AC④∠B=∠C⇒①AE=ADⅧ②AB=AC④∠B=∠C⇒③OB=OC证明：

△ABD与△ACE中∵∠A=∠A，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（ASA）∴AE=AD…………Ⅶ得证∵AE=AD，AB=AC∴BE=DC△BOE与△COD中∵∠B=∠C,BE=DC∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（AAS）∴OB=OC…………Ⅷ得证第五组：

Ⅸ③OB=OC④∠B=∠C⇒②AB=ACⅩ③OB=OC④∠B=∠C⇒①AE=AD证明：

△BOE与△COD中∵∠B=∠C,OB=OC，∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（ASA）∴OE=OD∵OE=OD，OB=OC∴EC=BD△ABD与△ACE中∵∠A=∠A，∠B=∠C，EC=BD∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AB=AC…………Ⅸ得证∴AE=AD…………Ⅹ得证第六组：

Ⅺ①AE=AD③OB=OC⇒②AB=AC　Ⅻ①AE=AD③OB=OC⇒④∠B=∠C（同上）

变式题组：

1.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.

A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DC

C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

C正确如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似A正确对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形B可以所以此题答案为D

2.工人师傅常用角尺平分一个任意角。

做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。

过角尺顶点C作射线OC。

由做法得△MOC≌△NOC的依据是（）

A．AASB.SASC.ASAD.SSS

因为在三角形omc与三角形onc中；

on=ommc=ncoc=oc所以三角形omc=三角形onc（sss）所以选：

D

3.如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　_________　．（只需写一个，不添加辅助线）

分析：

求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．

解：

AC=DF，理由是：

∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：

AC=DF．

考点二：

构造全等三角形证题

例2：

如图，已知△ABC。

（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使

（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE。

解：

（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，三角形ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么三角形ADC和三角形ABE的面积就相等；

（2）证明：

如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点，∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，∴△AEC≌△FBD，

∴AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG＞AD，在△BFG中，BG+FG＞FB，

∴AG+DG-AD＞0，BG+FG-FB＞0，∴AG+DG+BG+FG-AD-FB＞0，

即AB+FD＞AD+FB∴AB+AC＞AD+AE。

4.如图：

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD,AB＞AD，

下列结论正确的是（）　　　

A．AB-AD＞CB-CD　　　　　　　　B.　AB-AD=CB-CD

C．AB-AD＜CB-CD　　　　　　D．AB-AD与CB-CD的大小关系不确定

如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．

5.

（1）如图，已知△ABC中，AD为中线，求证：

AB+AC＞2AD

（2）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE垂直DF,交AB,AC于点E,F,求证：

BE+CF＞EF

1.证明：

延长AD到F，使DF=AD，连接BF易证△ADC≌△FDB，所以AC=BF，在△ABF中，AB+BF＞AD+DF，所以2AD＜AB+AC；

2.如图

（2）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据条件证明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易证FD垂直平分线段EG，则FG=FE，把问题转化到△CFG中，运用三边关系比较大小；

证明：

如图

（2）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，

∵在△DCG与△DBE中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG=DE，CG=BE，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG=FE，

在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；

考点三：

利用三角形全等证线段和、差问题

例3.如图，已知△ABC中，∠B=60°

，∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE相交于点O，求证：

AE＋CD＝AC。

在AC上取一点F,使得AF=AE,连接OF.下面证明CF=CDAD是角平分线,那么有∠EAO=∠FA0再加上AE=AF,AO=AO所以由边角边得到:

三角形AEO和三角形AFO全等就有∠AOE=∠AOF又∠B=60度所以∠BAC+∠BCA=120度那么∠AOE=∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）/2=60度所以∠AOF=∠AOE=60度那么∠COF=180-60-60=60度=∠AOE=∠COD就是∠COF=∠COD再加上∠OCD=∠OCF,OC=OC角边角就得到三角形OCD和三角形OCF全等得到:

CF=CD所以就证明了:

AC=AF+CF=AE+CD

考点四：

全等三角新在动态几何中的运用

例4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

求证：

（1）BD=DE+CE；

（2）若直线AE绕点A到图2位置时（BD<

CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；

（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？

请直接写出结果，不须证明。

（1）

（2）

（3）BD=DE-CE

6.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；

△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）如图1，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连接AP，BO．猜想并写出BO与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点O，连接AP，BO．此时，BO与AP还具有

（2）中的数量关系和位置关系吗？

请说明理由．

（1）∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．

∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，　∴∠BAC=∠CAP=45°

，AB=AP，∴∠BAP=90°

∴AP=AB，AP⊥AB；

（2）延长BO交AP于H点，如图2　∵∠EPF=45°

，∴△OPC为等腰直角三角形，

∴OC=PC，∵在△ACP和△BCO中AC=BC，∠ACP=∠BCO，CP=CO∴△ACP≌△BCO（SAS），

∴AP=BO，∠CAP=∠CBO，而∠AOH=∠BOC，∴∠AHO=∠BCO=90°

，∴AP⊥BO，

即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直；

（3）BO与AP所满足AP=BO，AP⊥BO．理由如下：

延长BO交AP于点H，如图3，

∵∠EPF=45°

，∴∠CPO=45°

，∴△CPO为等腰直角三角形，∴OC=PC，∵在△APC和△OBC中，AC=BC,∠ACP=∠BCO,CP=CO　∴△APC≌△OBC（SAS），∴AP=BO，∠APC=∠COB，

而∠PBH=∠CBO，∴∠PHB=∠BCO=90°

，∴BO⊥AP，即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．

研讨乐园

例5.如图

（1）已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.求证：

AC=BF

如图，延长AD到G，使DG=AD，连接BG、GC∵BD=DC，∴四边形ABGC为平行四边形。

∴AC∥BG 

∴∠1=∠2。

∵AE=EF，∴∠2=∠3。

又∠3=∠4， 

∴∠2=∠4。

∴∠1=

∠4，∴BF=BG。

又BG=AC，∴BF=AC

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1.如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA

答案：

B

2.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是　（　　　　）.

A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm

∵AE=4cm，∴AC=8，∵△ABC的周长为30cm，∴AB+BC=22，∵△ABD的周长=AB+AD+BD，AD=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC-CD=AB+BC=22

3.如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（）

A、DCB、BCC、ABD、AE+AC

C　　∠3+∠E=