北京市东城区届高三一模数学理试题及答案Word文档下载推荐.docx

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（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（4）已知平面上不重合的四点，，，满足，且，那么实数的值为

（5）若右边的程序框图输出的是，则条件①可为

A．B．

C．D．

（6）已知,,那么的值为

（A）（B）

（7）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是

（A）（B）

（C）（D）

（8）空间点到平面的距离定义如下：

过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点∈，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是

（A）　　　（B）　　　

（C）（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如果是实数,那么实数　　　　　．

（10）已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点到直线的距离的最大值为．

（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：

kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　　　kg；

若要从体重在[60,70），[70，80）,[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为．

（12）如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为．

（13）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），　　　　　．

（14）已知数列满足：

，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则b5=　　　；

当n≥5时，　　　　　．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求△面积的最大值．

（16）（本小题共14分）

已知四棱锥的底面是菱形．，，，与交于点，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

（17）（本小题共13分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：

两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；

（Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．

（18）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）证明：

对任意，都有成立．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．

（20）（本小题共14分）

对于，定义一个如下数阵：

其中对任意的，，当能整除时，；

当不能整除时，．设．

（Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；

（Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：

；

（Ⅲ）若，，求证：

．

高三数学参考答案（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B

（2）B（3）A（4）C

（5）C（6）B（7）B（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）

注：

两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为，

所以

由正弦定理，得．

整理得．

所以．

在△中，．

所以，．

（Ⅱ）由余弦定理，．

所以，当且仅当时取“=”．

所以三角形的面积．

所以三角形面积的最大值为．

（16）（共14分）

（Ⅰ）证明：

因为，分别为，的中点，

所以∥．

又平面,平面．

所以∥平面．

连结，

因为，

所以．

在菱形中，，

又因为，

所以平面．

又平面，

在直角三角形中，，，

又，为的中点，

又因为

（Ⅲ）解：

过点作∥，所以平面．

如图，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

可得，，，，　　

，．

所以，，

．

设是平面的一个法向量，则

，即，

令，则．

设直线与平面所成的角为，

可得．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（17）（共13分）

（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且.

至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

∴的分布列是

1

2

3

的期望

（18）（共13分）

（Ⅰ）解：

由，可得．

当单调递减，

当单调递增.

所以函数在区间上单调递增，

又，

所以函数在区间上的最小值为．

由（Ⅰ）可知在时取得最小值，

可知．

所以当单调递增，

当单调递减.

所以函数在时取得最大值，

可知，

所以对任意，都有成立．

（19）（共13分）

（Ⅰ）依题意可得，，，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，

由可得．

设，

则，．

设线段中点为，则点的坐标为，

由题意有，

可得，

（Ⅲ）设椭圆上焦点为，

则.

，

所以.

所以△的面积为（）．

则．

可知在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，有最大值．

所以，当时，△的面积有最大值．

（20）（共1４分）

依题意可得，

　．

　．

（Ⅱ）解：

由题意可知，是数阵的第列的和，

因此是数阵所有数的和．

而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的，不超过的倍数有，，…，．

因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．

（Ⅲ）证明：

由的定义可知，，

考查定积分，

将区间分成等分，则的不足近似值为，

的过剩近似值为．