北京市顺义区届高三数学第二次统练理科Word文档下载推荐.docx

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二、填空题（本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上）

9.的展开式中含的项的系数为（用数字作答）.

10.设的内角的对边分别为,且,则,的面积.

11.如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则.

12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则m.

13.已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为.

14.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;

当且时,.则函数在上的零点个数为.

三、解答题（本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

已知函数.

（I）求的值;

（II）求函数的最小正周期及单调递减区间.

16.（本小题满分14分）

如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.

（I）求证:

平面;

（II）求证:

（III）若二面角的大小为,求的长.

17.（本小题满分13分）

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:

.

（I）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;

（II）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.

18.（本小题满分13分）

已知函数,其中为正实数,.

（I）若是的一个极值点,求的值;

（II）求的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.

（I）求椭圆的方程;

（II）若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.

20.（本小题满分13分）

已知函数,其中为大于零的常数,,函数的图像与坐标轴交点处的切线为,函数的图像与直线交点处的切线为,且.

（I）若在闭区间上存在使不等式成立,求实数的取值范围;

（II）对于函数和公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:

函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

顺义区2013届高三第二次统练

数学试卷（理工类）参考答案

一、ABBABCDC

二、9.3610.11.

12.413.14.6

三、15.解:

（I）

.……………………………………………………………4分

（II）,得

故的定义域为.

因为

所以的最小正周期为.

因为函数的单调递减区间为,

由,

得,

所以的单调递减区间为.

……………………………………………………………13分

16.（I）证明:

在长方体中,

因为平面,

所以.

因为,

所以四边形为正方形,

因此,

又,

所以平面.

又,且,

所以四边形为平行四边形.

又在上,

所以平面.

……………………………………………………………4分

（II）取的中点为,连接.

因为为的中点,所以且,

因为为的中点,所以,

而,且,

所以,且,

因此四边形为平行四边形,

所以,而平面,

……………………………………………………………9分

（III）如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,

则,

故.

由（I）可知平面,

所以是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为,

所以

令,则,

设与所成的角为,则

因为二面角的大小为,

所以,即,

解得,

即的长为1.……………………………………………………………14分

17.解:

（I）∵小矩形的面积等于频率,

∴除外的频率和为0.70,

.………………………………………………………3分

500名志愿者中,年龄在岁的人数为（人）.

（II）用分层抽样的方法,从中选取20名,

则其中年龄“低于35岁”的人有12名,

“年龄不低于35岁”的人有8名.

故的可能取值为0,1,2,3,

故的分布列为

1

2

3

……………………………………………………………13分

18.解:

（I）因为是函数的一个极值点,

所以,

解得.

经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.

（II）

令得……①

（i）当,即时,方程①两根为

此时与的变化情况如下表:

—

↗

极大值

↘

极小值

所以当时,的单调递增区间为,;

的单调递减区间为.

（ii）当时,即时,,

即,此时在上单调递增.

所以当时,的单调递增区间为.

19.解:

（I）由已知得且,

所以椭圆的方程为.

……………………………………………………………3分

（II）设.

当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合,

显然三点不共线,不符合题设条件.

故可设直线的方程为.

由消去整理得

.……………………………………………①

所以点的坐标为.

因为三点共线,所以,

因为,所以,

此时方程①为,则,

故当时,的最大值为.

20.解:

（I）函数的图像与坐标轴的交点为,

又,.

函数的图像与直线的交点为,

由题意可知,,

又,所以.……………………………………………………3分

不等式可化为,

即.

又时,,

故,

在上是减函数,

即在上是减函数,

因此,在闭区间上,若存在使不等式成立,

只需,

所以实数的取值范围是.…………………………………8分

（II）证明:

和公共定义域为,由（I）可知,.

在上是增函数,

故,即.①

当时,;

当时,,

有最大值,因此.②

由①②得,即.

又由①得,

由②得,

故函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.