高中理科椭圆的典型例题文档格式.docx
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∴为所求.
(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;
(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
典型例题四
例4椭圆上不同三点,,与焦点的距离成等差数列.
(1)求证;
(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
证明:
(1)由椭圆方程知,,.
由圆锥曲线的统一定义知:
,∴.
同理.∵,且,
∴,即.
(2)因为线段的中点为,所以它的垂直平分线方程为
.
又∵点在轴上,设其坐标为,代入上式,得
又∵点,都在椭圆上,
∴
将此式代入①,并利用的结论得∴.
典型例题五
例5已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中项?
若存在,则求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
假设存在,设,由已知条件得
,,∴,.
∵左准线的方程是,
又由焦半径公式知:
,.
∵,∴.
整理得.
解之得或.①
另一方面.②
则①与②矛盾,所以满足条件的点不存在.
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
(3)本例也可设存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
典型例题六
例6已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程.
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求.
解法一:
设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得
由韦达定理得.
∵是弦中点,∴.故得.
所以所求直线方程为.
分析二:
设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从而求斜率:
解法二:
设过的直线与椭圆交于、,则由题意得
①-②得.⑤
将③、④代入⑤得,即直线的斜率为.所求直线方程为.
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:
过定点且被定点平分的弦;
平行弦的中点轨迹;
过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:
“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点;
(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.
当方程有两种形式时,应分别求解,如
(1)题中由求出,,在得方程后,不能依此写出另一方程.
(1)设椭圆的标准方程为或.
由已知.①
又过点,因此有
或.②
由①、②,得,或,.故所求的方程为
或.
(2)设方程为.由已知,,,所以.故所求方程为.
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程或.
典型例题八
例8椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标.
本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求均可用此法.
由已知:
,.所以,右准线.
过作,垂足为,交椭圆于,故.显然的最小值为,即为所求点,因此,且在椭圆上.故.所以.
本题关键在于未知式中的“2”的处理.事实上,如图,,即是到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使到的距离与到右准线距离之和取最小值.
典型例题九
例9求椭圆上的点到直线的距离的最小值.
先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.
椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到直线的距离为
当时,.
当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标.
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求的最大值时,要注意讨论的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.
设所求椭圆的直角坐标方程是,其中待定.
由可得
,即.
设椭圆上的点到点的距离是,则
其中.
如果,则当时,(从而)有最大值.
由题设得,由此得,与矛盾.
因此必有成立,于是当时,(从而)有最大值.
由题设得,可得,.
∴所求椭圆方程是.
由及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点,点到点的距离是.
根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中,待定,,为参数.
设椭圆上的点到点的距离为,则
如果,即,则当时,(从而)有最大值.
由题设得,由此得,与矛盾,因此必有成立.
于是当时(从而)有最大值.
由题设知,∴,.
∴所求椭圆的参数方程是.
由,,可得椭圆上的是,.
典型例题十一
例11设,,,求的最大值和最小值.
本题的关键是利用形数结合,观察方程与椭圆方程的结构一致.设,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.
由,得
可见它表示一个椭圆,其中心在点,焦点在轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.
设,则
它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为.
在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即,此时;
当圆过(3,0)点时,半径最大,即,∴.
∴的最小值为0,最大值为15.
典型例题十二
例12已知椭圆,、是其长轴的两个端点.
(1)过一个焦点作垂直于长轴的弦,求证:
不论、如何变化,.
(2)如果椭圆上存在一个点,使,求的离心率的取值范围.
本题从已知条件出发,两问都应从和的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第
(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:
,,根据得到,将代入,消去,用、、表示,以便利用列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.
(1)设,,.
于是,.
∵是到的角.∴
∵∴故∴.
(2)设,则,.
由于对称性,不妨设,于是是到的角.
∵,∴
整理得∵∴
∵,∴∵,∴
,∴,
∴或(舍),∴.
典型例题十三
例13已知椭圆的离心率,求的值.
分两种情况进行讨论.
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.由,得.
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.
由,得,即.
∴满足条件的或.
本题易出现漏解.排除错误的办法是:
因为与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在轴上,也可能在轴上.故必须进行讨论.
典型例题十四
例14已知椭圆上一点到右焦点的距离为,求到左准线的距离.
利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.
由,得,,.
由椭圆定义,,得
由椭圆第二定义,,为到左准线的距离,
∴,
即到左准线的距离为.
∵,为到右准线的距离,,
∴.又椭圆两准线的距离为.
∴到左准线的距离为.
运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.
椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;
如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.
典型例题十五
例15设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角,求点坐标.
利用参数与之间的关系求解.
设,由与轴正向所成角为,
而,,由此得到,,∴点坐标为.
典型例题十六
例16设是离心率为的椭圆上的一点,到左焦点和右焦点的距离分别为和,求证:
本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.
点到椭圆的左准线的距离,,由椭圆第二定义,,
∴,由椭圆第一定义,.
本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式.
典型例题十七
例17 已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点.
(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标;
(2) 求的最小值及对应的点的坐标.
本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:
一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;
若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.
(1)如上图,,,,设是椭圆上任一点,由,,∴,等号仅当时成立,此时、、共线.
由,∴,等号仅当时成立,此时、、共线.
建立、的直线方程,解方程组得两交点
、.
综上所述,点与重合时,取最小值,点与重合时,取最大值.
(2)如下图,设是椭圆上任一点,作垂直椭圆右准线,为垂足,由,,∴.由椭圆第二定义知,∴,∴,要使其和最小需有、、共线,即求到右准线距离.右准线方程为.
∴到右准线距离为.此时点纵坐标与点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点坐标.说明:
求的最小值,就是用第二定义转化后,过向相应准线作垂线段.巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段.
典型例题十八
例18
(1)写出椭圆的参数方程;
(2)求椭圆内接矩形的最大面积.
本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.
(1).
(2)设椭圆内接矩形面积为,由对称性知,矩形的邻边分别平行于轴和轴,设为矩形在第一象限的顶点,,
则
故椭圆内接矩形的最大面积为12.
通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.
典型例题十九
例19已知,是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)求证的面积与椭圆短轴长有关.
不失一般性,可以设椭圆方程为
(),().
思路一:
根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即,设,,,化简可得.又,两方程联立消去得,由,可以确定离心率的取值范围;
解出可以求出的面积,但这一过程很繁.
思路二:
利用焦半径公式,,在中运用余弦定理,求,再利用,可以确定离心率的取值范围,将代入椭圆方程中求,便可求出的面积.
思路三:
利用正弦定理、余弦定理,结合求解.
(法1)设椭圆方程为(),,,,,
则,.
在中,由余弦定理得
,
解得.
(1)∵,
故椭圆离心率的取范围是.
(2)将代入得