线性代数模拟试题4套Word格式.docx
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9、设A012，则当t时，A的行向量组线性无关
00t5
解.
如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量七、综合计算：
（本题14分）
22
已知二次型f（Xi,X2,X3）Xi2X2
（1）求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示；
（2）求A的特征值与全部特征向量；
（3）求正交变换XPY化二次型为标准形,并写出标准形；
（4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：
（每小题5分，共10分）
1、已知向量ai,a2,a3线性无关，证明bi2ai3a2,b2a24a3,b35a3ai线性无关.
2、某矿产公司所属的三个采矿厂ai,a2,a3,在20ii年所生产的四种矿石
bi,b2,b3,b4,b5的数量（单位：
吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表:
工厂
bi
b2
b3
b4
b5
ai
i00
20
30
50
a2
80
70
a3
60
i0
各矿石单价
3
5
4
（i）做矩阵A35表示20ii年工厂ai产矿石bj的数量（ii,2,3;
ji,2,3,4,5）;
（2）通过矩阵运算计算三个工厂在20ii年的生产总值.
模拟试题二
判断题（正确的打，，不正确的打）（每小题2分，共i0分）
（）1、设A,B为n阶方阵，则|AB||A|B|;
（）2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E;
（）3、设矩阵A的秩为r,则A中所有r1阶子式必不是零；
（）4、若xi,x2是非齐次线性方程组Axb的解，则xi2也
是该方程组的解.
（）5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。
填空题（每小题2分，共16分）
1、排列7623451的逆序数是
其中Aj为元素aj的代数余子式;
一1,
3、设A、B均为5阶矩阵，A—,B2,则BA1;
2
4、3
（1）2
（2）5（3），其中1（2,5,1,3）T,2（10,1,5,10）T
T
3（4,1,1,1），贝U;
..一一k2.一1一一
5、已知向量组A:
1,2，向量b，当k时，b可由A
211
线性表示，且表示法唯一；
1123
6、设齐次线性方程组AX0的系数矩阵通过初等行变换化为0102,则
0000
此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为
7、设向量（1,2,1）T,=2,,2T正交，则8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值
三、计算题（每小题8分，共16分）
2、已知矩阵A
求矩阵方程AXBC
四、计算题（每小题8分，共16分）
1k2
1、已知向量组10,2k2,3k2,
01k2
（1）k取何值时，该向量组线性相关；
（2）k取何值时，该向量组线性无关,
说明理由
5x34x1X24x1X38X2X3,
2、已知二次型f（X1,X2,X3）2x15x2
（1）写出此二次型对应的矩阵A;
（2）判断该二次型是否正定二次型，说明理由
五、计算题（每小题10分，共20分）
求：
（1）矩阵A秩；
（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。
系和此方程组的通解
131
六、（12分）设矩阵A011
002
（1）求矩阵A的特征值和全部的特征向量；
（2）求可逆矩阵P,使得P1AP（其中是对角矩阵），并写出对角矩阵
七、（5分）证明题
设方阵A满足A2AEO,证明：
A可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题
假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不
同城镇不同人员的数目的矩阵:
设第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第三个矩阵为C
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?
（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？
模拟试题三
一、判断题：
V,错误：
1、A,B为n阶方阵则AB|BA（）
2、设A为mn（mn）矩阵，则Axb有无穷多解。
（）
3、向量组Ai是向量组A的一部分，向量组Ai线性无关，则向量组A一定线性相
关；
4、设1,2是方阵A的特征值，则12也是方阵A的特征值。
（）
5、4个3维向量一定线性相关。
1、已知A为3阶方阵，且A2,则2A;
2、六阶行列式中某项a15a21a36a42a53a64带有的符号为；
3、设A为n阶方阵，满足A2AE,则A1;
4、设1,2是n元非齐次线性方程组Axb的两个解，且A的秩R（A）n1,则Axb的通解x;
5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为
102-11
B=01-300，贝Uk
000（1-k）k1k2
时方程组无解,
当k时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基
础解系中有
个向量。
6、二次型f2x24xy6y24z2
4xz的秩为
（请选正定、负定、不定之一）
7、方阵A的特征值为,方阵BA2
2A3E,则B的特征值为
、计算：
（每小题8分,
共16分）
1、已知4阶行列式D
1
2、已知A1
伴随矩阵A*
四、计算：
（每小题
10
1、求齐次线性方程组
2、已知线性方程组
A21A312A41
试判断A是否可逆。
若可逆,
分，共20分）
2x1x2
Xi
4x1
2x1
x2
2x2
x3
2x3
4x3
x4
求A1,若不可逆，求A的
x
2x
2x4
3x4
的基础解系和它的通解。
3y3z2有解，求yza
a,并求全部解;
（10分）判断向量组
1,2
2,3
0,
的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：
二次型f（Xi,X2,X3）X2X2X22XiX2
（1）求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示
（3）求正交矩阵P,使P1AP为对角形矩阵。
（4）求正交变换XPY化二次型为标准形
（5）写出标准形
七、证明题：
1、设°
是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,3是对应的齐次线性方程组
Ax0的一个基础解系，证明：
0,1,2,3线性无关；
2、某石油公司所属的三个炼油厂a1,a2,a3,在2010年所生产的四种油品
b1，b2,b3,b4
的数量（单位：
吨）及各种油品的单位价格（元/吨）如下表：
b
a1
7
各油品单价
100
150
130
110
（1）做矩阵A34表示2010年工厂ai产油品bj的数量（i1,2,3;
j1,2,3,4）
（2）计算三个工厂在2010年的生产总值。
模拟试题四
1、设A,B均为n阶方阵，则若A或B可逆，则AB必可逆.（）
2、已知A,B是n阶方阵，k为整数，则（AB）kAkBk.（）
3、已知向量组1,2,3,4的秩为3,则1,2,3,4中至少有三个向量线性无关.
4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价.（）
5、设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，P1,P2是对应的特征向量，则P1与P2正
交.（）
1、4阶行列式det（aj）中含a13,a21的带正号的项为.
2、A,B为3阶方阵，如果网2,B3,那么3AB.
3、m个n维向量构成的向量组ai,a2,,am线性相关的充分必要条件是矩阵
有无穷多解.
6、已知A
7、已知4阶行列式D
则A21A22A23A24的值为
中Aij为D
的第i行第j列元素的代数余子式.
8、矩阵A
对应的二次型是
9、矩阵A
0的列向量组的秩为
10、已知
2是A特征值，且A可逆，则
是A1的特征值.
三、计算:
（每小题8分，共16分）
（2）A20122BT1
0，求
（1）A1;
2、设矩阵A和B满足关系式AB
A2B,其中A
四、（10分）求齐次线性方程组
X1
X2
X3
4x4
3x5
3X3
X5
5x4
5X5
3x1
5X3
6x4
7X5
的一个基础解系和它
的通解.
五、（10分）设有5个向量ai
12
c，a2
「，a3
c，a4
c，a5
14
求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量.
六、（10分）设非齐次线性方程组AXb的增广矩阵为
10
01
00
300
01k1k'
0（1k）k1k
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