线性代数模拟试题4套Word格式.docx

1、1 1 19、设A 0 1 2 ，则当t 时，A的行向量组线性无关0 0t 5解.如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量 七、综合计算：（本题14分）2 2已知二次型 f（Xi,X2,X3） Xi 2X2（1）求二次型所对应的矩阵 A,并写出二次型的矩阵表示；（2）求A的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换X PY化二次型为标准形,并写出标准形；（4）判断该二次型的正定性。八、证明题：（每小题5分，共10分）1、已知向量 ai, a2 ,a3 线性无关，证明 bi 2ai 3a2,b2 a2 4a3,b3 5a3 ai 线 性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂 ai,a2,a3

2、,在20ii年所生产的四种矿石bi,b2,b3,b4,b5的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元 /吨）如下表:工厂bib2b3b4b5aii00203050a28070a360i0各矿石单价354（i）做矩阵A3 5表示20ii年工厂ai产矿石bj的数量（i i,2,3;j i,2,3,4,5）;（2）通过矩阵运算计算三个工厂在 20ii年的生产总值.模拟试题二判断题（正确的打，不正确的打 ）（每小题2分，共i0分）（）1、设 A,B 为 n 阶方阵，则 |A B| |A |B|;（）2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵 E;（）3、设矩阵A的秩为r ,则A中所有r 1

3、阶子式必不是零；（）4、若x i,x 2是非齐次线性方程组 Ax b的解，则x i 2也是该方程组的解.（）5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。填空题（每小题2分，共16分）1、排列7623451的逆序数是其中Aj为元素aj的代数余子式;一 1 ,3、设A、B均为5阶矩阵，A ,B 2,则 BA1 ;2 4、3（ 1 ） 2（ 2 ） 5（ 3 ），其中 1 （2,5,1,3）T, 2 （10,1,5,10）TT3 （4,1, 1,1），贝 U ;.一 一 k 2 . 一 1 一 一5、已知向量组A: 1 , 2 ，向量b ，当k 时，b可由A2 1 1线性表示，且表示法唯一；1 1

4、 2 36、设齐次线性方程组AX 0的系数矩阵通过初等行变换化为 0 10 2,则0 0 0 0此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为7、设向量 （1, 2, 1）T , = 2, ,2T 正交，则 8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8 ,已知A有2个特征值-1和4 ,则另一特征值三、计算题（每小题8分，共16分）2、已知矩阵A求矩阵方程AX B C四、计算题（每小题8分，共16分）1 k 21、已知向量组 1 0,2 k 2 , 3 k 2 ,0 1 k 2（1）k取何值时，该向量组线性相关；（2）k取何值时，该向量组线性无关,说明理由5x3 4x1X2 4x1X3 8X2X3,2、已知二次

5、型 f（X1,X2,X3） 2x1 5x2（1）写出此二次型对应的矩阵 A;（2）判断该二次型是否正定二次型，说明理由五、计算题（每小题10分，共20分）求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。系和此方程组的通解1 3 1六、（12分）设矩阵A 0 1 10 0 2（1）求矩阵A的特征值和全部的特征向量；（2）求可逆矩阵P ,使得P 1AP （其中 是对角矩阵），并写出对角矩阵七、（5分）证明题设方阵A满足A2 A E O ,证明：A可逆并求它的逆矩阵。八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:设第

6、一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第 三个矩阵为C（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：V,错误：1、A, B为n阶方阵则 AB| BA （ ）2、设A为m n（ m n）矩阵，则Ax b有无穷多解。 （ ）3、向量组Ai是向量组A的一部分，向量组Ai线性无关，则向量组 A一定线性相关；4、设1, 2是方阵A的特征值，则1 2也是方阵A的特征值。（ ）5、4个3维向量一定线性相关。1、已知A为3阶方阵，且A 2,则 2A ;2、六阶行列式中某项a15a21a36a42a53a64带有的

7、符号为；3、设A为n阶方阵，满足A2 A E,则A1 ;4、设1, 2是n元非齐次线性方程组 Ax b的两个解，且A的秩R（A） n 1,则 Ax b的通解x ;5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为10 2 -1 1B= 0 1 -3 0 0 ，贝U k0 0 0 （1-k）k 1 k2时方程组无解,当k 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中有个向量。6、二次型 f 2x2 4xy 6y2 4z24xz的秩为（请选正定、负定、不定之一）7、方阵A的特征值为,方阵B A22A 3E ,则B的特征值为、计算：（每小题8分,共16分）1、已知4阶行列式D12、已知A 1伴随矩

8、阵A*四、计算：（每小题101、求齐次线性方程组2、已知线性方程组A21 A31 2 A41,试判断A是否可逆。若可逆,分，共20分）2x1 x2Xi4x12x1x22x2x32x34x3x4求A 1 ,若不可逆，求A的x2x2x43x4的基础解系和它的通解。3y 3z 2有解，求 y z aa,并求全部解;（10分）判断向量组1 , 22 , 30 ,的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。六、综合计算：二次型 f （Xi, X2,X3） X2 X2 X2 2XiX2（1）求二次型所对应的矩阵 A,并写出二次型的矩阵表示（3）求正交矩阵P ,使P 1AP为对角

9、形矩阵。（4）求正交变换X PY化二次型为标准形（5）写出标准形七、证明题：1、设是非齐次线性方程组 Ax b的一个解，1, 2, 3是对应的齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系，证明： 0, 1, 2, 3线性无关；2、某石油公司所属的三个炼油厂 a1,a2,a3,在2010年所生产的四种油品b1，b2 ,b3, b4的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元 /吨）如下表：ba17各油品单价100150130110（1）做矩阵A3 4表示2010年工厂ai产油品bj的数量（i 1,2,3; j 1,2,3,4）（2）计算三个工厂在2010年的生产总值。模拟试题四1、设A,B均为n阶方阵，则

10、若A或B可逆，则AB必可逆. （ ）2、已知A,B是n阶方阵，k为整数，则（AB）k AkBk. （ ）3、已知向量组1, 2, 3, 4的秩为3,则1, 2, 3, 4中至少有三个向量线性无关.4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价 . （ ）5、设1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，P1 , P2是对应的特征向量，则P1与P2正交. （ ）1、4阶行列式det（aj ）中含a13, a21的带正号的项为 .2、A,B为3阶方阵，如果网 2, B 3,那么3AB .3、m个n维向量构成的向量组 ai,a2, ,am线性相关的充分必要条件是矩阵有无穷多解.6、已知A7、已知4阶行列式D

11、,则 A21 A22 A23 A24 的值为中Aij为D的第i行第j列元素的代数余子式.8、矩阵A对应的二次型是9、矩阵A0的列向量组的秩为10、已知2是A特征值，且A可逆，则是A 1的特征值.三、计算:（每小题8分，共16分）（2） A2012 2BT 10，求（1 ） A1 ;2、设矩阵A和B满足关系式ABA2 B ,其中A四、（10分）求齐次线性方程组X1X2X34x43x53X3X55x45X53x15X36x47X5的一个基础解系和它的通解.五、（10分）设有5个向量ai12c ，a2 ，a3c ，a4c ，a514求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量.六、（10分）设非齐次线性方程组AX b的增广矩阵为1 00 10 03 0 00 1 k 1k0 （1 k）k 1 k