完整word高等数学常微分方程的基础知识和典型例题Word文件下载.docx
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939
C1x3lnx
3
13
x.
2.(06,4分)微分方程y=y(1x)的通解为————
x
这是可变量分离的一阶方程,分离变量得
dy(11)dx.积分得lnylnxxC1,即yeC1xex
yx
yCxex,其中C为任意常数.
(二)奇次方程与伯努利方程
1.(97,2,5分)求微分方程(3x22xyy2)dx(x22xy)dy0的通解
解:
所给方程是奇次方程.令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得
3(1+u-u2)dx+x(1-2u)du=0.
分离变量得1-2u2du3dx,
1uux
积分得ln1uu23lnxC1,即1uu2=Cx3.
以uy代入得通解x2xyy2.
xx
(yx2y2)dxxdy0(x0),
2.(99,2,7分)求初值问题的解.
yx10
所给方程是齐次方程(因dx,dy的系数(y+x2y2)与(-x)都是一次齐次函数)
令dyxduudx,带入得
x(u1u2dxx(xduudx)0,
化简得12u2dxxdu0.
分离变量得dx-du=0.
x1u2
积分得lnxln(u1u2)C1,即u1u2Cx.
以uy代入原方程通解为y+x2y2Cx2.
再代入初始条件yx10,得C=1.故所求解为y+x2y2x2,或写成y12(x21).
(三)全微分方程
练习题
(94,1,9分)设f(x)具有二阶连续导数,f(0)0,f(0)1,且
[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)以及全微分方程的通解
先用凑微分法求左端微分式的原函数:
122122
(ydxxdy)2(ydxxdy)yd(2sinxcosx)(2sinxcosx)dy0,22
122
d[xy2xyy(cosx2sinx)]0.
2
其通解为1x2y22xyy(cosx2sinx)C.
4.(98,3分)已知函数yy(x)在任意点x处的增量y=y2x,当x0时,
1x
是x的高阶无穷小,y(0)=,则y
(1)等于()
(A)2.(B).(C)e4.(D)e4.
由可微定义,得微分方程yy.分离变量得
1ydx2,两边同时积分得lnyarctanxC,即yCearctanx.
y1x
代入初始条件y(0),得C=,于是y(x)earctanx,
由此,y
(1)e4.应选(D)
二、二阶微分方程的可降阶类型
5(.00,3分)微分方程xy3y0的通解为
这是二阶微分方程的一个可降阶类型,令y=P(x),则y=P,方程可化为一阶线性方程
xP3P0,标准形式为P+3P=0,两边乘x3得(Px3)=0.通解为yPC30.
再积分得所求通解为yC22C1.
21
6.(02,3分)微分方程yyy2=0满足初始条件yx01,yx02的特解是
这是二阶的可降阶微分方程.
令yP(y)(以y为自变量),则ydydPPdP.
dxdxdy
代入方程得yPdP+P2=0,即ydP+P=0(或P=0,,但其不满足初始条件yx01)
dydy2
分离变量得dPdy0,
Py
C
积分得lnP+lny=C,即P=1(P=0对应C1=0);
y
11
由x0时y1,P=y,得C1,于是
yP,2ydydx,积分得yxC22y.
又由yx01得C2.1,所求特解为y1x.
三、二阶线性微分方程
(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构
7.(01,3分)设yex(C1sinxC2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分
方程的通解,则该方程为.
分析一:
由通解的形式可得特征方程的两个根是
r1,r21i,从而得知特征方程为
(rr1)(rr2)r(r1r2)rr1r2r2r20.
由此,所求微分方程为y2y2y0.
分析二:
根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶),由通解yex(C1sinxC2cosx)
求得yex[(C1C2)sinx(C1C2)cosx],yex(2C2sinx2C1cosx),
从这三个式子消去C1与C2,得y2y2y0.
(二)求解二阶线性常系数非齐次方程
9.(07,4分)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y=
特征方程243
(1)(3)0的根为1,3.
非齐次项ex,2不是特征根,非齐次方程有特解yAe2x.代入方程得
(4A8A3A)e2x2e2xA2.
因此,通解为yC1exC2e3x2e2x..
10.(10,10分)求微分方程y3y2y2xex的通解.
这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.
1由相应的特征方程2320,得特征根11,22相应的齐次方程的通解为
yC1exC2e2x.
2非齐次项f(x)2xex,1是单特征根,故设原方程的特解
yx(axb)e.
代入原方程得ax2(4ab)x2a2b3[ax2(2ab)xb]2(ax2bx)2x,
即2ax2ab2x,a1,b2.
3原方程的通解为yC1exC2e2xx(x2)ex,其中C1,C2为两个任意常数.
04,2,4分)微分方程yyx21sinx的特解形式可设为()
(A)yaxbxcx(AsinxBcosx).(B)yx(axbxcAsinxBcosx).
(C)yaxbxcAsinx.(D)yaxbxcAcosx.
相应的二阶线性齐次方程的特征方程是210,特征根为i.
yyx21L()与1yysinxL
(2)
方程
(1)有特解yax2bxc,方程
(2)的非齐次项f(x)exsinxsinx(0,1,
i是特征根),它有特解yx(AsinxBcosx).
yax2bxcx(AsinxBbcosx).应选(A).
(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程
12.(04,4分)欧拉方程x2d2y4xdy2y0(x0)的通解为
dxdx
建立y对t的导数与y对x的导数之间的关系.
222
dydydxdydydy2dy2dydy
(sinx),22sintcost(1x)2x.
dtdxdtdxdtdxdxdxdx
d2y
于是原方程化为2y0,其通解为yC1costC2sint.
dt2
回到x为自变量得yC1xC21x2.
由y(0)C21C21.y(0)C1x02C12.
1x2
因此特解为y2x1x2.
四、高于二阶的线性常系数齐次方程
13.(08,4分)在下列微分方程中,以yC1eC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通
解的是()
(A)yy4y4y0.(B)yy4y4y0.
(C)yy4y4y0.(D)yy4y4y0.
从通解的结构知,三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是:
1,2i(i1),对
应的特征方程是
(1)(2i)(2i)
(1)(24)32440,
因此所求的微分方程是yy4y4y0,选(D).
(00,2,3分)具有特解y1ex,y22xex,y33ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()
(A)yyyy0.(B)yyyy0.
(C)y6y11y6y0.(D)y2yy2y0.
首先,由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1r21,r31,从而特征方程为
(r1)2(r1)0,即r3r2r10,由此,微分方程为yyyy0.应选(D).
五、求解含变限积分的方程
00,2,8分)函数y=f(x)在0,上可导,f(0)1,且满足等式
f(x)f(x)1f(t)dt0,
f(x)1.
x10
求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分:
1
(x1)f(x)(x1)f(x)0f(t)dt0,(x1)f(x)(x2)f(x)0.
在原方程中令变限x0得f(0)f(0)0,由f(0)1,得f(0)1.
现降阶:
令uf(x),则有ux2u0,解此一阶线性方程得
x1
xe
f(x)uCeu0
xe由f(0)1,得C1,于是f(x)e.
e
(2)方法1用单调性.由f(x)e0(x0),f(x)单调减,f(x)f(0)1(x);
又设(x)f(x)ex,则(x)f(x)exxex0(x0),(x)单调增,因此(x)
(0)0(x0),即f(x)ex(x0).
综上所述,当x0时,exf(x)1.
方法2用积分比较定理.由牛顿-莱布尼茨公式,有
六、应用问题
(一)按导数的几何应用列方程练习题
1.(96,1,7分)设对任意x0,曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式.
x0
曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线方程为
Yf(x)f(x)(Xx).
令X0得y轴上的截距Yf(x)xf(x).由题意
1f(t)dtf(x)xf