求数列前N项和的方法Word文件下载.docx

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设……………………….②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4]求数列前n项的和.

由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

练习：

求：

Sn=1+5x+9x2+·

·

+（4n-3）xn-1

解：

+（4n-3）xn-1①

①两边同乘以x，得

xSn=x+5x2+9x3+·

+（4n-3）xn②

①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+x2+x3+·

+）-（4n-3）xn

当x=1时，Sn=1+5+9+·

+（4n-3）=2n2-n

当x≠1时，Sn=11-x[4x（1-xn）1-x+1-（4n-3）xn]

3.反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5]求的值

设………….①

将①式右边反序得

…………..②（反序）

又因为

①+②得（反序相加）

＝89

∴S＝44.5

4.分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6]求数列的前n项和：

，…

设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

[例7]求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝（分组）

＝

＝（分组求和）

＝

求数列的前n项和。

5.裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）

[例9]求数列的前n项和.

设（裂项）

则（裂项求和）

[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

　∵

　∴（裂项）

∴数列{bn}的前n项和

（裂项求和）

＝＝

[例11]求证：

∵（裂项）

∴（裂项求和）

＝＝＝

∴　原等式成立

练习：

求13，115，135，163之和。

6.合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°

+cos2°

+cos3°

+·

+cos178°

+cos179°

的值.

设Sn＝cos1°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝（cos1°

）+（cos2°

）+（cos3°

+cos177°

）+·

+（cos89°

+cos91°

）+cos90°

（合并求和）

＝0

[例13]数列{an}：

，求S2002.

设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴　S2002＝（合并求和）

＝

＝5

[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.

由等比数列的性质（找特殊性质项）

和对数的运算性质得

（合并求和）

＝10

7.利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]求之和.

由于（找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

[例16]已知数列{an}：

∵（找通项及特征）

＝（设制分组）

＝（裂项）

∴（分组、裂项求和）

求5，55，555，…，的前n项和。

∵an=59（10n-1）

∴Sn=59（10-1）+59（102-1）+59（103-1）+…+59（10n-1）

=59[（10+102+103+……+10n）-n]

=（10n＋1-9n-10）

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

二、累加、累乘法

1、累加法适用于：

若，则

两边分别相加得

例1已知数列满足，求数列的通项公式。

由得则

所以数列的通项公式为。

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：

所以

解法二：

两边除以，得，

则，故

因此，

则

2、累乘法适用于：

若，则

两边分别相乘得，

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

三、待定系数法适用于

分析：

通过凑配可转化为;

解题基本步骤：

1、确定

2、设等比数列，公比为

3、列出关系式

4、比较系数求，

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例4已知数列中，，求数列的通项公式。

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

设，比较系数得，

则数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，即

两边同时除以得：

，下面解法略

注意：

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

设

比较系数得，

所以

由，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

形如时将作为求解

原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

设

比较系数得或，不妨取，

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

四、迭代法

例8已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法

1、对数变换法适用于指数关系的递推公式

例9已知数列满足，，求数列的通项公式。

因为，所以。

两边取常用对数得

设（同类型四）

由，得，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例10已知数列满足，求数列的通项公式。

求倒数得为等差数列，首项，公差为，

3、换元法适用于含根式的递推关系

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

令，则

代入得

即

因为，

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

由及，得

由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

七、阶差法

1、递推公式中既有，又有

分析：

把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例13已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

∵对任意有

∴当n=1时，，解得或

当n≥2时，⑵

-⑵整理得：

∵各项均为正数，∴

当时，，此时成立

当时，，此时不成立，故舍去

2、对无穷递推数列

例14已知数列满足，求的通项公式。

因为①

所以②

用②式－①式得

故

所以③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

八、不动点法

不动点的定义：

函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。

由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。

类型一：

形如

例15已知数列中，，求数列的通项公式。

递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1

∴，……

类型二：

递归函数为

（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴

（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。

例16已知数列满足，求数列的通项公式。

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。