概率论与数理统计习题库第三章Word格式文档下载.docx
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(1,1)
(0,1)
Pi,j
0.08
0.12,
0.12
0.18
Z=max(X,Y)
W=X+Y
2
从上表可以确定Z的取值域为{0,1},W的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。
例如
P{Z=0}=0.12+0.18=0.3
于是,Z、W的分布律分别为:
Z
W
PZ
0.7
PW
0.26
0.42
#00002
袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次,令
(1)求(X,Y)的分布律。
(2)求X与Y的相关系数
*00002
解:
(1)显然X、Y的全部可能取值为X=1,0;
Y=1,0
而P{X=1,Y=1}=P{两次均摸到红球}=,同理计长沙理工大学二手货QQ交易群146808417
算其它的Pij,故有(X,Y)的分布律为:
1/10
3/10
(2)
#00003
设(X,Y)具有概率密度,1)求常数c;
2)求P{Y>
2X};
3)求F(0.5,0.5)
*00003
1)如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域
由归一性图
3)由F(x,y)的几何意义,可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X0.5,Y0.5}区域(见如图G1)上的概率。
故有
#00004
已知(X,Y)的分布函数为
(1)求X与Y的边缘概率密度。
(2)问X与Y是否相互独立?
*00004
(1)
#00005
(X,Y)的分布函数为.
(1)求X与Y的联合概率密度及边缘概率密度。
(2)问X与Y是否不相关?
*00005
(1)先求出(X,Y)的概率密度
#00006
已知(X,Y)的分布律为
x\y
(1)边缘分布律。
(2)求X、Y的相关系数,(3)问X与Y是否不相关?
*00006
(1)
pi.
2/5
3/5
p.j
(3)
#00007
已知(X,Y)的概率密度为,
(1)求X、Y的边缘分布函数
(2)问X与Y独立吗?
*00007
故X与Y不独立。
#00008
已知随机变量(X,Y)的分布律为
XY
0.15
且知X与Y独立,
(1)求、的值。
(2)令,求X与Z的相关系数
*00008
(1)首先,+=1-0.15-0.15=0.7
又X与Y独立,由定理3.2.3.=(+)(0.15+)=0.35
=0.7-0.35=0.35
#00009
甲乙约定8:
009:
00在某地会面。
设两人都随机地在这期间的任一时刻到达,先到者最多等待15分钟,过时不候。
求两人能见面的概率。
*00009
设甲于8点零X分钟到达、乙于8点另Y分钟到达。
由题意,X与Y独立且XU(0,60)(分),YU(0,60)(分),两人能见面等价于|X-Y|<
15。
为求p{|X-Y|<
15}需求出(X,Y)的概率密度。
由定理3.2.2.
图
#00010
(X,Y)的概率密度为
(1)试判断(X,Y)的独立性。
*00010
(1)A=2
求各一维边缘密度函数
fX(x)=
类似可得
故X,Y相互独立。
(2)X与Y独立,故X与Y是不相关的。
#00011
设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布,又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的,求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。
*00011
本题已知随机变量X的分布律Pi:
P{x=i}=
由题意易见,该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布,即Y|X=iB(I,0.8),故有
又由式(3.3.2),P{X=i,Y=j}=P(Y=yj|X=xi}P{X=xi},于是,(X,Y)的分布律为:
#00012
将一枚硬币连抛三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,试写出(X,Y)的联合分布律、关于X和Y的边缘分布律
*00012
设=“第i次出现正面”(i=1,2,3),则此随机试验共包含8个基本事件,它们及相应的(X,Y)取值为
从而,(X,Y)的联合分布律为
将其填入表格,进而得边缘分布律:
#00013
已知F(x,y)=A(B+arctg,
1)求常数A,B,C。
2)求P{0<
X<
2,0<
Y<
3}
*00013
#00014
设二维随机变量(X,Y)在矩形域G={(x,y)|0<
x<
y<
1}上服从均匀分布,试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。
*00014
此题显然是已知(X,Y)的分布,求S=XY的概率密度问题。
图2.7
S的分布函数为FS(s)=P{Ss}=P{XYs}
当s0时,FS(s)=0
当s2时,FS(s)=1
现在,设0<
s<
2,曲线xy=s与矩形G的上边交点(s,1);
位于曲线xy=s上方的点满足xy>
s,位于曲线xy=s下方的点满足xy<
s,于是
FS(s)=P{Ss}=P{XYs}=1-P{XYs}
=
于是
#00015
设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度。
*00015
由题意,随机变量X、Y的概率密度分别为:
,
随机变量Z=X+Y的概率密度为:
故ZN(0,2)
一般地,设X1,X2,…Xn独立,且XiN(i,i2)则
#00016
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)问X与Y是否独立?
*00016
故X与Y不独立。
X与Y不是不相关的。
#00017
设两个相互独立的子系统L1,L2的寿命分别为X与Y,已知它们的概率密度分别为
其中>
0,>
0,
(1)
(1)若系统L由L1,L2串联而成试写出L的寿命Z的概率密度.
(2)
(2)若系统L由L1,L2并联而成试写出L的寿命Z的概率密度.
*00017
由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止二作,所以这时L的寿命为
Z=min(X,Y)
由已知得,X、Y得分布函数分别为
Z=min(X,Y)的分布函数为
于是,Z=min(X,Y)的概率密度为
(2)由于当且仅当都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为
Z的分布函数为
FZ(z)=FX(z)FY(z)=
于是,Z=max(X,Y)的概率密度为
#00018
设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度函数为
试求P(X<Y).
*00018
#00019
(12分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(1)求常数C;
(2)求关于X和关于Y的边缘密度函数;
(3)问X与Y是否相互独立?
*00019
解
(1)根据得
(4分)
(2) (8分)
(10分)
(3),X与Y不独立。
#00020
(2)求;
*00020
(2) (8分)
(12分)
#00021
(2)求Z=X+Y的密度函数
*00021
(2)根据两个随机变量和的密度函数公式
(6分)
得当z<
0时,,而当z≥0时
(10分)
因此
(12分)
#00022
(14分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(2)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数
*00022
(2)当x<
0时,。
当x≥0时,
(6分)
即
(8分)
所以随机变量M=max(X,Y)的密度函数为
当x<
0时,
(12分)
因此m的密度函数为
(14分)
#00023
一台机器制造直径为X的轴,另一台机器制造内径为η的轴套。
设(X,Y)的密度函数为
如果轴套的内径比轴的直径大0.004但不大于0.036,则两者就能很好地配合成套。
现随机地选择轴和轴套,问两者能很好地配合的概率是多少?
*00023
设A——轴与机器配套
#00024
一电子部件含两个主要元件,它们的寿命(以小时计)分别为X和Y。
设(X,Y)的分布函数为
(1)
(1)
求两元件寿命都超过120小时的概率。
(2)求至少有一元件寿命超过120小时的概率。
*00024
#00025
设X与Y的联合密度函数为
求P(X+2Y<
1)
*00025
注意到:
f(x,y)的表达式中含未知数A,先利用密度函数归一性求出A值。
f(x,y)的非零值定义域记为D,则
A=4.8
#00026
设随机变量X与Y相互独立,且同服从[0,1]上的均匀分布,试求:
Z=|X-Y|的分布函数与密度函数
*00026
先求Z的分布函数
Z的密度函数为
(12分)
#00027
设某公司有100件产品进行拍卖,每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002)