专题12 函数与方程高考文科数学一轮总复习名师讲解及强化检测训练Word格式.docx
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__________的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
零点
（2）方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有________．
连续不断
（3）函数零点的判定
f（a）·
f（b）<
0
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f（x）在区间___
_______内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a>
0）零点的分布
根的分布
（m<
n<
p为常数）
图象
满足条件
x1<
x2<
m
m<
x2
f（m）<
n
p
只有一根在
（m，n）之间
或f（m）·
f（n）<
考点训练：
一、单选题
1．定义在R上的奇函数f（x）满足条件，当x∈时，f（x）＝x，若函数g（x）＝－ae－在区间上有4032个零点，则实数a的取值范围是
A.（0，1）B.（e，e3）
C.（e，e2）D.（1，e3）
【答案】B
【解析】分析：
根据满足条件且为奇函数，可周期为，当时，，根据与图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．
详解：
因为满足条件且为奇函数，
函数，∴周期为，
∵当时，，
作与图像，
函数在区间上有个零点，
即与在且仅有两个交点，
∴即.
点睛：
本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
2．函数的零点个数为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，将零点的个数转化为图像交点的个数，在同一个坐标系中，画出两条曲线画出，之后看两条曲线有几个交点，从而得到函数零点的个数来解决.
3．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
作出与的函数图象，根据图象和交点个数判断的范围．
作出与的函数图象，如图所示：
设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，.
∵方程恰有两个不同的实根
∴根据图象可知当时，两图象有两个交点.
∴实数的取值范围是
故选C.
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：
直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4．已知关于的方程为（其中），则此方程实根的个数为（）
A.2B.2或3C.3D.3或4
令，则，列表考查函数的性质如下：
+
-
单调递增
单调递减
函数在有意义的区间内单调递增，
故的单调性与函数的单调性一致，
且函数的极值
绘制函数图像如图所示，
观察可得，与函数恒有3个交点，
即题中方程实根的个数为3.
本题选择C选项.
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·
f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．已知函数，函数，则函数的零点的个数为（）
求出函数的解析式，推出的表达式，然后求解函数的零点．
函数,可得，
则
令，
可得，
画出与y=的图象如图所示：
由图可得：
与y=有4个交点
故有4个零点。
故选：
C.
函数零点的求解与判断
令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，充分利用图象的对称性处理问题.
6．已知若函数只有一个零点，则实数的值为
【解析】分析:
先求出分段函数的每一段的单调性，从而得到函数的单调性，再利用函数的单调性转化为只有一个解,最后利用二次函数的图像性质得解.
解答本题关键有两点，其一是分析出函数的单调性，先利用复合函数的单调性得到函数在都是增函数,再根据端点值得到函数是单调增函数,其二是将命题转化为只有一个解.对于函数的零点问题常用的是图像法.
7．已知函数，，若对任意给定的，关于的方程在区间上总存在唯一的一个解，则实数的取值范围是（）
由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的值域，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题．
解f′（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1），
①当a=0时，f（x）=1，g（x）=，显然不可能满足题意；
②当a＞0时，f'
（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1），
x，f′（x），f（x）的变化如下：
又因为当a＞0时，g（x）=﹣x+上是减函数，
对任意m∈[0，2]，g（m）∈[﹣+，]，
由题意，必有g（m）max≤f（x）max，且1﹣a＞0，
故，解得：
≤a＜1，
③当a＜0时，g（x）=﹣x+上是增函数，不合题意；
综上，a∈[，1），
B．
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
8．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】D
根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，
∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），
即f（x）=﹣f（x+2），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，
∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，
则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，
若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，
则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，
若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，
则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，
作出函数f（x）的图象如图：
由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，
由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，
由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，
当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，
由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，
由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，
则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，
即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，
即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，
令k=n﹣1，
则4k+＜b＜4k+，
D．
9．设，，均为实数，且，，，则
解决本题，要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系，解决此类问题时，有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.
10．己知函数，关于的方程恰好有三个不同的实数解，则的取值范围为（）
画出函数图像，由韦达定理和指数式与对数式互化解得，，构造函数，，求范围。
解析：
由分段函数画出函数y=f（x）的图像，如下图
f
（1）=0.5,所以当时，有三个解。
由的韦达定理可知，，所以，，令函数，，
且，在上单调递减，所以
所以在区间上单调递增，，所以，选B.
分段常用处理方法一是分段讨论，二是数列结合，函数零点问题也常用数形结合，所以本题先画草图，找到三个根的表达式，再构造函数，利用导数求范围。
11．已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（）
首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，注意分段函数要明确相应的式子，当时，很容易画出抛物线段，当时，利用导数研究函数的单调性，利用函数解析式，确定出函数值的符号，从而画出函数的图像，利用偶函数的图像的对称性，得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可得结果.
该题考查的是有关函数零点的个数问题，在求解的过程中，将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题，结合偶函数的图像的对称性，得到在y轴右侧有三个交点，利用导数研究函数的单调性，得到函数图像的走向，从而观察图像求得结果.
12．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）
【答案】A
先根据对称性可得，且，，再根据韦达定理可得，利用基本不等式，结合选项可得结果.
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