中考数学压轴题因动点产生的面积问题含答案Word文档下载推荐.docx
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(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,
(2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).
由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.
由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.
所以△PMB∽△PNA.
图2图3图4
(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.
当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.
①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
②如图4,当M在NP的延长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
考点伸展
在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?
情形一,如图5,∠AMN=90°
,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).
情形二,如图6,∠MAN=90°
,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.
不存在∠ANM=90°
的情况.
图5图6
例2(2011年上海市松江区中考模拟第24题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,OC=4,BC=3,OA=5,点D在边OC上,CD=3,过点D作DB的垂线DE,交x轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点B和点E.
①求二次函数的解析式和它的对称轴;
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方,满足S△CEM=2S△ABM,求点M的坐标.
图1
(1)因为BC∥OA,所以BC⊥CD.因为CD=CB=3,所以△BCD是等腰直角三角形.因此∠BCD=45°
.又因为BC⊥CD,所以∠ODE=45°
.所以△ODE是等腰直角三角形,OE=OD=1.所以点E的坐标是(1,0).
(2)①因为抛物线y=-x2+bx+c经过点B(3,4)和点E(1,0),所以解得所以二次函数的解析式为y=-x2+6x-5,抛物线的对称轴为直线x=3.
②如图2,如图3,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,点M的坐标为(3,t).
.
(ⅰ)如图2,当点M位于线段BF上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,).
(ⅱ)如图3,当点M位于线段FB延长线上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,8).
图2图3
对于图2,还有几个典型结论:
此时,C、M、A三点在同一条直线上;
△CEM的周长最小.
可以求得直线AC的解析式为,当x=3时,.
因此点M(3,)在直线AC上.
因为点A、E关于抛物线的对称轴对称,所以ME+MC=MA+MC.
当A、M、C三点共线时,ME+MC最小,△CEM的周长最小.
例3(2010年广州市中考第25题)如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?
若不变,求出重叠部分的面积;
若改变,请说明理由.
(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.
②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时
S=S矩形OABC-S△OAE-S△BDE-S△OCD
=
(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.
作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.
设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.
图2图3图4
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;
最大面积为,如图7所示.
图5图6图7
例4(2010年扬州市中考第28题)如图1,在△ABC中,∠C=90°
,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在斜边AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);
②当x取何值时,y有最大值?
并求出最大值.
(3)若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合),点E在斜边AB上移动,试问,是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?
若存在直线EF,求出x的值;
若不存在直线EF,请说明理由.
图1备用图
(1)在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,所以AB=5.在Rt△ACD中,.
(2)①如图2,当F在AC上时,.在Rt△AEF中,.所以.
如图3,当F在BC上时,.在Rt△BEF中,.所以.
②当时,的最大值为;
当时,的最大值为.
因此,当时,y的最大值为.
图2图3图4
(3)△ABC的周长等于12,面积等于6.
先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,AF=6-x,x的变化范围为3<x≤5.因此.解方程,得.
因为在3≤x≤5范围内(如图4),因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.
如果把第(3)题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”,那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.
先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,BE=5-x,BF=x+1.
因此.
解方程.整理,得.此方程无实数根.
例5(2009年兰州市中考第29题)如图1,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图2所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在
(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标.
(4)如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;
若不能,请说明理由.
图1图2
(1)(1,0),点P每秒钟运动1个单位长度.
(2)过点B作BE⊥y轴于点E,过点C作x轴的垂线交直线BE于F,交x轴于H.
在Rt△ABE中,BE=8,AE=10-4=6,所以AB=10.由△ABE≌△BCF,知BF=AE=4,CF=BE=6.所以EF=8+6=14,CH=8+4=12.因此点C的坐标为(14,12).
(3)过点P作PM⊥y轴于M,PN⊥轴于N.因为PM//BE,所以,即.因此.于是.
设△OPQ的面积为(平方单位),那么,定义域为0≤≤10.
因为抛物线开口向下,对称轴为直线,所以当时,△OPQ的面积最大.此时P的坐标为(,).
(4)当或时,OP与PQ相等.
图3图4
附加题的一般思路是:
点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍.先求直线AB、BC、CD的解析式,根据直线的解析式设点P的坐标,再根据两点间的距离公式列方程PO=PQ.
附加题也可以这样解:
①如图4,在Rt△AMP中,设AM=3m,MP=4m,AP=5m,那么OQ=8m.根据AP、OQ的长列方程组解得.
②如图5,在Rt△GMP中,设GM=3m,MP=4m,GP=5m,那么OQ=8m.在Rt△GAD中,GD=7.5.根据GP、OQ的长列方程组解得.
③如图6,设MP=4m,那么OQ=8m.根据BP、OQ的长列方程组解得,但这时点P不在BC上.
图5图6
例6(2008年长春市中考第25题)在直角坐标系中,抛物线经过点(0,10)和点(4,2).
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图1,在边长一定的矩形ABCD中,CD=1,点C在y轴右侧沿抛物线滑动,在滑动过程中CD∥x轴,AB在CD的下方.当点D在y轴上时,AB落在x轴上.
①求边BC的长.
②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:
4时,求点C的坐标.
(1)因为抛物线经过点(0,10)和点(4,2),所以解得,.因此抛物线的解析式为y=x2-6x+10.
(2)①因为CD=1,点D在y轴上,所以点C的横坐标为1.在y=x2-6x+10中,当x=1时,y=5.所以边BC的长为5.
②因为矩形边长一定,所以BC=5.如图2,当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:
5时,点C的纵坐标为1.解方程x2-6x+10=1,得.此时点C的坐标为(3,1).
如图3,当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:
1时,点C的纵坐标为4.解方程x2-6x+10=4,得,.此时点C的坐标为(3+,4)或(3-,4).
在本题情景下,以CD为半径的⊙C如果与坐标轴相切,那么符合条件的点C有哪些?
解:
由于CD=1,抛物线的顶点为(3,1),因此与坐标轴相切的⊙C有三个,点C的坐标分别为(1,5),(-1,17),(3,1).
在本题情景下,以CB为半径的⊙C如果与坐标轴相切,那么符合条件的点C有哪些?
由于点(5,5)恰好在抛物线上,因此与坐标轴相切的⊙C有两个,点C的坐标分别为(5,5),(-5,65).