中考数学压轴题因动点产生的面积问题含答案Word文档下载推荐.docx

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（2）由点（p＞1）的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为（3，

（2）．此时点M的坐标为（1，2），点N的坐标为（－1，2）．

由P（3，2）、M（1，2）、B（2，1）三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．

由P（3，2）、N（－1，2）、A（1，0）三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．

所以△PMB∽△PNA．

图2图3图4

（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．

当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．

①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4（xP－xM）．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4（xM－xP）．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

考点伸展

在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？

情形一，如图5，∠AMN＝90°

，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．

情形二，如图6，∠MAN＝90°

，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．

不存在∠ANM＝90°

的情况．

图5图6

例2（2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．

（1）求点E的坐标；

（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．

①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1

（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°

．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°

．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．

（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以解得所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．

②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．

．

（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，）．

（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，8）．

图2图3

对于图2，还有几个典型结论：

此时，C、M、A三点在同一条直线上；

△CEM的周长最小．

可以求得直线AC的解析式为，当x＝3时，．

因此点M（3，）在直线AC上．

因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME＋MC＝MA＋MC．

当A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小．

例3（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？

若不变，求出重叠部分的面积；

若改变，请说明理由．

（1）①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为（2b,0），OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．

②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为（2b－2,1），CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时

S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD

＝

（2）如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋（2－m）2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2图3图4

把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；

最大面积为，如图7所示．

图5图6图7

例4（2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？

并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？

若存在直线EF，求出x的值；

若不存在直线EF，请说明理由．

图1备用图

（1）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．

（2）①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．

如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．

②当时，的最大值为；

当时，的最大值为．

因此，当时，y的最大值为．

图2图3图4

（3）△ABC的周长等于12，面积等于6．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．

因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．

因此．

解方程．整理，得．此方程无实数根．

例5（2009年兰州市中考第29题）如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；

若不能，请说明理由．

图1图2

（1）（1,0），点P每秒钟运动1个单位长度．

（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．

设△OPQ的面积为（平方单位），那么，定义域为0≤≤10．

因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为（，）．

（4）当或时,OP与PQ相等．

图3图4

附加题的一般思路是：

点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．

附加题也可以这样解：

①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．

②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．

③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．

图5图6

例6（2008年长春市中考第25题）在直角坐标系中，抛物线经过点（0，10）和点（4，2）．

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.

①求边BC的长.

②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:

4时，求点C的坐标.

（1）因为抛物线经过点（0，10）和点（4，2），所以解得，．因此抛物线的解析式为y＝x2－6x＋10．

（2）①因为CD＝1，点D在y轴上，所以点C的横坐标为1．在y＝x2－6x＋10中，当x＝1时，y＝5．所以边BC的长为5．

②因为矩形边长一定，所以BC＝5．如图2，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:

5时，点C的纵坐标为1．解方程x2－6x＋10＝1，得．此时点C的坐标为（3，1）．

如图3，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:

1时，点C的纵坐标为4．解方程x2－6x＋10＝4，得，．此时点C的坐标为（3＋，4）或（3－，4）．

在本题情景下，以CD为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？

解：

由于CD＝1，抛物线的顶点为（3，1），因此与坐标轴相切的⊙C有三个，点C的坐标分别为（1，5），（－1，17），（3，1）．

在本题情景下，以CB为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？

由于点（5，5）恰好在抛物线上，因此与坐标轴相切的⊙C有两个，点C的坐标分别为（5，5），（－5，65）．