北京市海淀区届高三上学期期末考试数学理科试题含答案Word下载.docx
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7.已知函数,是的导函数,则下列结论中错误的是
A.函数的值域与的值域相同
B.若是函数的极值点,则是函数的零点
C.把函数的图像向右平移个单位,就可以得到函数的图像
D.函数和在区间上都是增函数
8.已知集合.若,且对任意的,,均有,则集合B中元素个数的最大值为
A.25B.49C.75D.99
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.以抛物线的焦点为圆心,且与其准线相切的圆的方程为.
10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M值为15,n值为4时,输出的S值为.
11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为,.
12.设关于的不等式组表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则的最大值为.
13.在∆ABC中,,且,则.
14.正方体的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面上,且平面.
(Ⅰ)当点M与点C重合时,线段AP的长度为;
(Ⅱ)线段AP长度的最小值为.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)比较和的大小;
(Ⅱ)求函数在区间的最小值.
16.(本小题满分13分)
为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;
(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取3人,设表示这3人重成绩满足的人数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.
17.(本小题满分14分)
在四棱锥中,平面平面,底面为梯形,,
且
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的余弦值;
(Ⅲ)若M是棱PA的中点,求证:
对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.
18.(本小题满分14分)
椭圆的左焦点为F,过点的直线与椭圆交于不同两点A,B
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若点B关于轴的对称点为B’,求的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:
对任意成立.
20.(本小题满分13分)
设n为不小于3的正整数,集合,对于集合中的任意元素,
记
(Ⅰ)当时,若,请写出满足的所有元素
(Ⅱ)设且,求的最大值和最小值;
(Ⅲ)设S是的子集,且满足:
对于S中的任意两个不同元素,有成立,求集合S中元素个数的最大值.
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数学(理科)2019.01
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.11.12.13.14.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.解:
(Ⅰ)因为
所以
因为,所以,所以
(Ⅱ)因为
设,所以
其对称轴为
当,即时,在时函数取得最小值
16.解:
(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件
由茎叶图中的数据可以知道,名同学中,有名同学考核优秀
所以所求概率约为
(Ⅱ)的所有可能取值为
因为成绩的学生共有人,其中满足的学生有人
所以,
,
随机变量的分布列为
(Ⅲ)根据表格中的数据,满足的成绩有个
所以可以认为此次冰雪培训活动有效.
17.解:
(Ⅰ)在平面中过点作,交于
因为平面平面
平面
平面平面
所以平面
因为平面
又,且
(Ⅱ)因为平面,所以
又,
以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系
因为平面,所以取平面的法向量为
设平面的法向量为
因为,所以
令,则,所以
由题知为锐角,所以的余弦值为
(Ⅲ)
法一:
假设棱上存在点,使得,显然与点不同
所以四点共面于
所以就是点确定的平面,所以
这与为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证
法二:
假设棱上存在点,使得
连接,取其中点
在中,因为分别为的中点,所以
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以与重合
所以点在线段上,所以是,的交点,即就是
而与相交,矛盾,所以假设错误,问题得证
法三:
假设棱上存在点,使得,
所以有,这个方程组无解
所以假设错误,即问题得证
18.解:
(Ⅰ)
所以离心率
(Ⅱ)法一:
设
显然直线存在斜率,设直线的方程为
所以,所以
,所以
因为
当直线是轴时,
当直线不是轴时,设直线的方程为
所以,所以,
因为
综上,的取值范围是.
19.解:
当时,
所以,而
曲线在处的切线方程为
化简得到
因为,令
得
当时,,,在区间的变化情况如下表:
极大值
极小值
所以在上的最小值为中较小的值,
而,所以只需要证明
设,其中,所以
令,得,
所以在上的最小值为,而
注意到,所以,问题得证
因为“对任意的,”等价于“对任意的,”
即“,”,故只需证“,”
设,
令,得
所以上的最小值为,而
所以时,,所以在上单调递增
而,所以,问题得证
“对任意的,”等价于“在上的最小值大于”
当时,,,在在上的变化情况如下表:
注意到和,所以
设,其中
当时,,所以单调递增,所以
而
所以,问题得证
法四:
因为,所以当时,
所以,,的变化情况如下表:
所以在时取得最小值,而
所以时,
20.解:
(Ⅰ)满足的元素为
(Ⅱ)记,,
注意到,所以,
所以中有个量的值为1,个量的值为0.
显然
当,时,
满足,.所以的最大值为
又
注意到只有时,,否则
而中个量的值为1,个量的值为0
所以满足这样的元素至多有个,
当为偶数时,.
当时,满足,且.
所以的最小值为
当为奇数时,且,这样的元素至多有个,
所以.
当,时,满足,.
综上:
的最大值为,当为偶数时,的最小值为,当为奇数时,.
(Ⅲ)中的元素个数最大值为
设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个
记,
集合中元素个数不超过个,下面我们证明集合中元素个数不超过个
,则
则中至少存在两个元素
因为,所以不能同时为
所以对中的一组数而言,
在集合中至多有一个元素满足同时为
所以集合中元素个数不超过个
所以集合中的元素个数为至多为
记,则中共个元素,
对于任意的,,.
对,记其中,,
显然,,均有.
记,中的元素个数为,且满足,,均有.
综上所述,中的元素个数最大值为.