高考浙江专用培优二轮专题5 第2讲 不等式问题文档格式.docx

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北京卷）能说明“若a>

b，则<

”为假命题的一组a，b的值依次为________．

解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>

b，但是>

，故答案可以为1，－1.（答案不唯一，满足a>

0，b<

0即可）

答案　1，－1（答案不唯一）

3．（2018·

天津卷）已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．

解析　由题知a－3b＝－6，因为2a>

0，8b>

0，所以2a＋≥2×

＝2×

＝2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号．

答案　

4．（2018·

浙江卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．

解析　由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2，2），（1，1），（4，－2）为顶点的三角形及其内部区域（图略）．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点（2，2）处取得最大值，在点（4，－2）处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.

答案　－2　8

5．（2017·

浙江卷）已知a∈R，函数f（x）＝|x＋－a|＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．

解析　当x∈[1，4]时，x＋∈[4，5]，下面对a分三种情况讨论：

当a≥5时，f（x）＝a－x－＋a＝2a－x－，函数的最大值为2a－4＝5，解得a＝（舍去）；

当a≤4时，f（x）＝x＋－a＋a＝x＋≤5，此时满足题意；

当4＜a＜5时，[f（x）]max＝max{|4－a|＋a，|5－a|＋a}，

则或

解得a＝或4＜a＜.

综上，a的取值范围是.

考点整合

1．简单分式不等式的解法

（1）＞0（＜0）f（x）g（x）＞0（＜0）；

（2）≥0（≤0）f（x）g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0.

2．

（1）解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：

①对二次项系数与0的大小进行讨论；

②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；

③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；

④讨论根与定义域的关系．

（2）四个常用结论

①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的条件是

②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的条件是

③a＞f（x）恒成立a＞f（x）max.

④a＜f（x）恒成立a＜f（x）min.

3．利用基本不等式求最值

已知x，y∈R＋，则

（1）若x＋y＝S（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值；

（2）若xy＝P（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2（x＋y≥2＝2）．

4．二元一次不等式（组）和简单的线性规划

（1）线性规划问题的有关概念：

线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．

（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：

①画出可行域；

②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；

③求出目标函数的最大值或者最小值．

5．|x－a|＋|x－b|≥c（c>

0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>

0）型不等式的解法：

（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

6．不等式的证明

不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：

比较法、作差法、作商法（要注意讨论分母）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.

热点一　利用基本不等式求最值

[考法1]　基本不等式的简单应用

【例1－1】

（1）若直线＋＝1（a>

0，b>

0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为________．

（2）已知函数f（x）＝2x＋，若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，则实数m的最大值为________．

解析　

（1）∵直线＋＝1（a>

0）过点（1，2），∴＋＝1（a>

0，且b>

0），

则2a＋b＝（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝2，b＝4时上式等号成立．

因此2a＋b的最小值为8.

（2）由条件知f（2x）＝22x＋2－2x＝（2x＋2－x）2－2＝（f（x））2－2.

∵f（2x）≥mf（x）－6对于x∈R恒成立，且f（x）>

0，

∴m≤对于x∈R恒成立．

又＝f（x）＋≥2＝4，且＝4，

∴m≤4，故实数m的最大值为4.

答案　

（1）8　

（2）4

探究提高　1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得．

2．特别注意：

（1）应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．

（2）若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．

[考法2]　带有约束条件的基本不等式问题

【例1－2】

（1）已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为（　　）

A．5，5B．10，C．10，5D．10，10

（2）（2018·

学军中学模拟）设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

解析　

（1）∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2＋5，

即xy－4－5≥0，可求xy≥25，

当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝.

（2）∵4x2＋y2＋xy＝1，

∴（2x＋y）2－3xy＝1，即（2x＋y）2－·

2xy＝1，

∴（2x＋y）2－·

≤1，

解之得（2x＋y）2≤，即2x＋y≤.

等号当且仅当2x＝y＞0，即x＝，y＝时成立．

答案　

（1）B　

（2）

探究提高　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解．

【训练1】

（1）若a，b∈R，ab>

0，则的最小值为________．

（2）已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．

解析　

（1）∵a，b∈R，ab>

0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，

当且仅当即时取得等号．

（2）设等比数列{an}的公比为q，

∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，

∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（舍去）．

∴＝＝4a1，

平方得2m＋n－2＝16＝24，

∴m＋n＝6，

∴＋＝（m＋n）＝≥

（5＋4）＝，

当且仅当＝，即n＝2m，亦即m＝2，n＝4时取等号．

答案　

（1）4　

（2）

热点二　含参不等式恒成立问题

[考法1]　分离参数法解决恒成立问题

【例2－1】

（1）关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为________．

（2）已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式（x＋y）2－a（x＋y）＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析　

（1）设f（x）＝x＋，因为x＞0，所以f（x）＝x＋≥2＝4.又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围为（－1，3）．

（2）要使（x＋y）2－a（x＋y）＋1≥0恒成立，则有（x＋y）2＋1≥a（x＋y），即a≤（x＋y）＋恒成立．

由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤，

即（x＋y）2－4（x＋y）－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2（舍去）．设t＝x＋y，则t≥6，（x＋y）＋＝t＋.设f（t）＝t＋，则在t≥6时，f（t）单调递增，所以f（t）＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.

答案　

（1）（－1，3）　

（2）

探究提高　对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a＞f（x）恒成立a＞f（x）max；

a＜f（x）恒成立a＜f（x）min.

[考法2]　函数法解决恒成立问题

【例2－2】

（1）已知f（x）＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥a恒成立，则a的取值范围为________．

（2）已知二次函数f（x）＝ax2＋x＋1对x∈[0，2]恒有f（x）＞0.则实数a的取值范围为________．

解析　

（1）法一　f（x）＝（x－a）2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，

①当a∈（－∞，－1）时，结合图象知，f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（－1）＝2a＋3.

要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，

即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；

②当a∈[－1，＋∞）时，f（x）min＝f（a）＝2－a2，

由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.∴－1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.

法二　设g（x）＝f（x）－a，则g（x）＝x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞）上恒成立，

即Δ＝4a2－4（2－a）≤0或

解得－3≤a≤1.

（2）法一　函数法．

若a＞0，则对称轴x＝－＜0，

故f（x）在[0，2]上为增函数，且f（0）＝1，

因此在x∈[0，2]上恒有f（x）＞0成立．

若a＜0，则应有f

（2）＞0，即4a＋3＞0，

∴a＞－.∴－＜a＜0.

综上所述，a的取值范围是a＞－且a≠0.

法二　分离参数法．

当x＝0时，f（x）＝1＞0成立．

当x≠0时，ax2＋x＋1＞0变为a＞－－，

令g（x）＝－－.

∴当≥时，g（x）∈.

∵a＞－－，∴a＞－.

又∵a≠0，∴a的取值范围是a＞－且a≠0.

答案　

（1）[－3，1]　

（2）∪（0，＋∞）

探究提高　参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题．

【训练2】

（1）若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________．

（2）已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________．

解析　

（1）因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的函数，

即g（a）＝－xa＋x2＋1≥0，

由题意可知解之得x∈R.

（2）设y＝，y′＝－＜0，

故y＝在x∈[2，6]上单调递减，即ymin＝＝，

故不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立等价于

|a2－a|≤恒成立，化简得

解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2]．

答案　

（1）