高考求函数值域及最值得方法及例题训练题 3Word文档下载推荐.docx
《高考求函数值域及最值得方法及例题训练题 3Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考求函数值域及最值得方法及例题训练题 3Word文档下载推荐.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
例2求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。
先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为:
x=（1－2y）/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
求函数y=（10x+10-x）/（10x－10-x）的值域。
函数的值域为｛y∣y<
－1或y>
1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：
求函数y=√（－x2+x+2）的值域。
将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.（答案:
值域为{y∣y≤3}）
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=（2x2－2x+3）/（x2－x+1）的值域。
将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
将上式化为（y－2）x2－（y－2）x+（y-3）=0（＊）
当y≠2时,由Δ=（y－2）2－4（y－2）x+（y－3）≥0，解得：
2＜x≤10/3
当y=2时,方程（＊）无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。
把函数关系化为二次方程F（x,y）=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±
√（cx2+dx+e）的函数。
求函数y=1/（2x2－3x+1）的值域。
值域为y≤－8或y>
0）。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f（x）,可求出y=f（x）在区间[a,b]内的极值,并与边界值f（a）.f（b）作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知（2x2-x-3）/（3x2+x+1）≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x（-1≤x≤3/2）,
∴z=-（x-2）2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；
当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）
A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）
（答案：
D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√（x-2）2的值域。
根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
原函数化为－2x+1（x≤1）
y=3（-1<
x≤2）
2x-1（x>
2）
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x（x≤1/3）的值域。
由已知的函数是复合函数，即g（x）=－√1-3x,y=f（x）+g（x），其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
设f（x）=4x,g（x）=－√1-3x,（x≤1/3）,易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
求函数y=3+√4-x的值域。
｛y|y≥3｝）
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。
通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
设t=√2x+1（t≥0）,则
x=1/2（t2-1）。
于是y=1/2（t2-1）-3+t=1/2（t+1）2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
求函数y=√x-1–x的值域。
｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
原函数变形为f（x）=√（x+2）2+1+√（2-x）2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√（2-x）2+22,
KC=√（x+2）2+1。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
对于形如函数y=√x2+a±
√（c-x）2+b（a,b,c均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
求函数y=√x2+9+√（5-x）2+4的值域。
｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
由3x-4y-5=0变形得，（x3）/4=（y-1）/3=k（k为参数）
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=（3+4k）2+（14+3k）2=（5k+3）2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f（x,y）=2x2-y的值域。
｛f（x,y）|f（x,y）≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=（3x+2）/（x+1）的值域。
将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
y=（3x+2）/（x+1）=3－1/（x+1）。
∵1/（x+1）≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
对于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函数均可利用这种方法。
求函数y=（x2-1）/（x-1）（x≠1）的值域。
y≠2）
十二．不等式法
例6求函数Y=3x/（3x+1）的值域。
先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
易求得原函数的反函数为y=log3[x/（1-x）],
由对数函数的定义知x/（1-x）＞0
1-x≠0
解得，0＜x<
1。
∴函数的值域（0，1）。
考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。
不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：
求下列函数的值域
1．Y=√（15－4x）+2x-5；
（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/（2x－1）。
（y>
1或y<
0）
训练例题
例1．求下列函数的值域
（1）
（2）（3）（4）
例2．已知，求的最值。
例3．求下列函数的值域
（1）
（2）（3）
例4.如何求函数的最值？
呢？
例5．求下列函数的值域
课后练习题
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
1.已知函数=，则［（）］的值是
A.9B.C.-9D.-
2.若集合,，则等于
A．{0} B． C．S D．T
3.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
A.B.C.D.
4.定义在R上的函数的值域为［，b］,则的值域为
A.［,b］B.［+1,b+1］C.［－1,b－1］D.无法确定
5.函数y=的定义域是（-，1）[2,5]，则其值域是
A.（-,0）[,2]B.（-,2）C.（-,）[2,+]D.（0,+）
6.函数的值域为R，则实数k的取值范围是
A． B．或C． D．或
7.已知函数的最小值是
A．2B．C．D．
8.函数
A.最小值为0，最大值为4B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4D.没有最大值，也没有最小值
9.已知的最大值为2，的最大值为，则的取值范围是
A．B．C．D．以上三种均有可能
10.已知、b的等差中项是的最小值是
A．3B．4C．5D．6
11.已知,,则（=
A．15
升级会员 