高考求函数值域及最值得方法及例题训练题 3Word文档下载推荐.docx

1、 例2求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。先求出原函数的反函数，再求出其定义域。显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为:x=（12y）/（y1）,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。求函数y=（10x+10-x）/（10x10-x）的值域。函数的值域为yy1） 三配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=（x2+x+2）的值域。将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。由x2+x+20,可知函

2、数的定义域为x1，2。此时x2+x+2=（x1/2）29/40，9/4 0x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。求函数y=2x5154x的值域.（答案:值域为yy3） 四判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=（2x22x+3）/（x2x+1）的值域。将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。将上式化为（y2）x2（y2）x+（y-3）=0 （） 当y2时,由=（y2）24（y2）x

3、+（y3）0，解得：2x10/3 当y=2时,方程（）无解。函数的值域为2y10/3。把函数关系化为二次方程F（x,y）=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b（cx2+dx+e）的函数。求函数y=1/（2x23x+1）的值域。值域为y8或y0）。 五最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f（x）,可求出y=f（x）在区间a,b内的极值,并与边界值f（a）.f（b）作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知（2x2-x-3）/（3x2+x+1）0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的

4、值域。根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x（-1x3/2）, z=-（x-2）2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。 函数z的值域为z5z15/4。本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A（，） B7， C0

5、，） D5，） （答案：D）。 六图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=x+1+（x-2）2 的值域。根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。原函数化为 2x+1 （x1） y= 3 （-12） 它的图象如图所示。 显然函数值y3,所以，函数值域3，。分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x1-3x（x1/3）的值域。由

6、已知的函数是复合函数，即g（x）= 1-3x,y=f（x）+g（x），其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。设f（x）=4x,g（x）= 1-3x ,（x1/3）,易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf（1/3）+g（1/3）=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。求函数y=3+4-x 的值域。y|y3） 八换元法 以新变量代替函数式中的某些量，

7、使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。设t=2x+1 （t0）,则 x=1/2（t2-1）。 于是 y=1/2（t2-1）-3+t=1/2（t+1）2-41/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y7/2。将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。求函数y=x-1 x的值域。y|y3/4 九构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求

8、函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。原函数变形为f（x）=（x+2）2+1+（2-x）2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=（2-x）2+22 ,KC=（x+2）2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5。对于形如函数y=x2+a （c-x）2+b（a,b,c均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。求函数y=x2+9 +（5-x）

9、2+4的值域。y|y52） 十比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。由3x-4y-5=0变形得，（x3）/4=（y-1）/3=k（k为参数） x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=（3+4k）2+（14+3k）2=（5k+3）2+1。 当k=3/5时，x=3/5,y=4/5时，zmin=1。 函数的值域为z|z1.本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数

10、转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。已知x,yR，且满足4x-y=0,求函数f（x,y）=2x2-y的值域。f（x,y）|f（x,y）1） 十一利用多项式的除法 例5求函数y=（3x+2）/（x+1）的值域。将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。y=（3x+2）/（x+1）=31/（x+1）。 1/（x+1）0，故y3。 函数y的值域为y3的一切实数。对于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函数均可利用这种方法。求函数y=（x2-1）/（x-1）（x1）的值域。y2） 十二不等式法 例6求函数Y=3x/（3x+1）的值域。先求出原函数的反

11、函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。易求得原函数的反函数为y=log3x/（1-x）, 由对数函数的定义知 x/（1-x）0 1-x0 解得，0x1或y0） 训练例题例1求下列函数的值域（1）（2）（3）（4） 例2已知，求的最值。例3求下列函数的值域（1）（2）（3）例4.如何求函数的最值？呢？例5求下列函数的值域课后练习题一、 选择题题号12345678910111213答案1. 已知函数=，则（）的值是A.9 B. C. -9 D. -2. 若集合,，则等于A0 B CS DT3. 下列函数中值域是（0，+）的函数是A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数的值域为，b,则的值域为A.,b B.+1,b+1 C.1,b1 D.无法确定5. 函数y =的定义域是（-，1） 2,5，则其值域是 A.（-,0） ,2 B.（-,2） C.（-,） 2,+ D.（0,+）6. 函数的值域为R，则实数k的取值范围是AB或 CD或7. 已知函数的最小值是A2 B C D 8. 函数A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值9. 已知的最大值为2，的最大值为，则的取值范围是A B C D以上三种均有可能10.已知、b的等差中项是的最小值是 A3 B4 C5 D611. 已知, ,则（=A15