中考数学二次函数综合题含答案Word格式.docx

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∴t=1时，周长有最大值，最大值为10．

考向2二次函数之面积问题

2．（2019·

衡阳）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？

并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：

△MBN的面积是否存在最大值？

若存在，求出此时点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：

（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y=x2＋bx＋c，

得解得

∴该抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3；

（2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP=90°

，

∵∠OPE＋∠OEP=90°

，∴∠OEP=∠BPC，

∴tan∠OEP=tan∠BPC．∴=．

设OE=y，OP=x，∴=．

整理，得y=－x2＋x=－（x－）2＋．

∴当OP=时，OE有最大值，最大值为，

此时点P在（，0）处.

（3）过点M作MF⊥x轴交BN于点F，

∵N（0，－3），B（3，0），

∴直线的解析式为y=－3m.

设M（m,m2－2m－3）,则MF=m2－3m，

∴△MBN的面积=OB·

MF=（m2－3m）=（m－）2－.

点M的坐标为（，－）时，△MBN的面积存在最大值.

考向3二次函数之等腰三角形问题

3．（2019·

兰州）二次函数的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BD，当t=时，求△DNB的面积；

（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；

（4）当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°

求点Q的坐标.

（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，

∴a=，b=，

∴；

（2）设直线BC的解析式为：

y=kx+b，

将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，

得：

，解得：

，

∴BC的直线解析式为，

当t=时，AM=3，

∵AB=5，∴MB=2，

∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴S△DNB=S△DMB-S△MNB=×

MB×

DM-×

MN=×

2×

2=2；

（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），

设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，

∵PB=PC，

∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，

∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），

∵PC⊥PB，∴，

∴t=1或t=2，

∴M（1，0）或M（3，0），

∴D（1，3）或D（3，2）；

（4）当t=时，M（，0），

∴点Q在抛物线对称性x=上，

如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q1与Q2，

∵AB=5，∴AM=，

∵∠AQ1C+∠OAC=90°

，∠OAC+∠MAG=90°

∴∠AQ1C=∠MAG，

又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，

∴Q1（，），

∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（，），

∴Q点坐标分别为（，），（，）.

考向4二次函数之相似三角形问题

4．（2019·

娄底）如图（14），抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

解：

（1）∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），

∴设抛物线的解析式为．

又∵抛物线过点D（2，－3），

∴，∴，

∴．

（2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G，

设P坐标为（），

则直线PD的解析式为，

它与y轴的交点坐标为F（0，－2m－3），则OF=2m+3．

∴

由于点P在直线OD下方，所以．

∴当时，

△POD面积的最大值；

（3）①由得抛物线与y轴的交点C（0，－3），

结合A（－1，0）得直线AC的解析式为，

∴当OE∥AC时，△OBE与△ABC相似；

此时直线OE的解析式为．

又∵的解为，；

∴Q的坐标为和．

②如图，作EN⊥y轴于N，

由A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）

得AB=3－（－1）=4，BO=3，BC=

当即时，△OBE与△ABC相似；

此时BE=．

又∵△OBC∽△ONE，∴NB=NE=2，

此时E点坐标为（1，－2），直线OE的方程为．

综上所述，Q的坐标为

，，，．

考向5二次函数之特殊四边形问题

5.（2019•广安）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；

（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）将点、的坐标代入直线表达式得：

，解得：

故直线的表达式为：

，将点、的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：

；

（2）直线的表达式为：

，则直线与轴的夹角为，

即：

则，

设点坐标为、则点，

，故有最大值，当时，其最大值为18；

（3），

①当是平行四边形的一条边时，

由题意得：

，即：

解得：

或0或4（舍去，

则点坐标为，或，或；

②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，，

、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，

，，

或（舍去，

故点；

故点的坐标为：

，或，或或．

考向6二次函数之角度存在性问题

6.（2019·

泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3,0）、B（0,－2）,且过点C（2,－2）.

（1）求二次函数表达式;

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M,使∠ABO=∠ABM？

若存在,求出点M到y轴的距离;

若不存在,请说明理由.

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点（0,－2）,∴c=－2,

又∵抛物线过点（3,0）（2,－2）∴,解得,

∴抛物线的表达式为；

（2）连接PO,设点P（）；

则S△PAB=S△POA+S△AOB－S△POB==,由题意得:

m2－3m=4,∴m=4,或m=－1（舍去）,

∴=,

∴点P的坐标为（4,）.

（3）设直线AB的表达式为y=kx+n,

∵直线AB过点A（3,0）,B（0,－2）,

∴3k+n=0,n=－2,解之,得:

k=,n=－2,

∴直线AB的表达式为:

y=x－2,

设存在点M满足题意,点M的坐标为（t,）.

过点M作ME⊥y轴,垂足为E,作MD⊥x轴交于AB于点D,

则D的坐标为（t,t－2）,

MD=,BE=||.

又MD∥y轴,∴∠ABO=∠MDB,

又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,

∴MD=MB,∴MB=.

在Rt△BEM中,

+t2=,解之,得:

t=,

∴点M到y轴的距离为.

考向7二次函数之新定义问题

7．（2019江西省）特例感知：

（1）如图1，对于抛物线，，下列结论正确的序号是；

①抛物线，，都经过点C（0，1）；

②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.

形成概念：

（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用在

（2）中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：

，，，…，，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；

若不相等，说明理由；

③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？

并说明理由.

（1）对于抛物线，，来说，

∵抛物线，，都经过点C（0，1），∴①正确；

∵抛物线，，的对称轴分别为：

，，，

∴抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，∴②正确；

∵抛物线，，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：

-1、-2、-3，

∴抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确.

答案：

①②③；

（2）①由可知，顶点坐标为（，），

∴该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；

②当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n（k为正整数），对应的纵坐标为：

，，，…，，

∴

，…，

∴相邻两点的距离相等，且距离为：

.

③将y=1代入可得，∴x=-n（0舍去），

∴点（-1，1），（-2，1），（-3，1），…，（-n，1）.

∵当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n（k为正整数），对应的纵坐标为：

∴点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），…，（-k-n，）.设，的解析式分别为：

y=px+q，y=mx+n，

则，，

解得p=k+n，m=k+n-1，∴p≠m，