旋转模型专题之欧阳化创编Word下载.docx

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1、已知：

如图，点为线段上一点，、是等边三角形．

常见结论：

（1）

（2）

（3）平分

（4）是等边三角形．

（5）∠AFM=60°

且保持不变

2、如图，在凸四边形中，,．

求证：

3、已知，以为边在外作等腰，其中。

⑴如图①，若，，四边形是平行四边形，则

⑵如图②，若，是等边三角形，，，求的长；

⑶如图③，若为锐角，作于，当时，是否成立？

若不成立，请说明你的理由；

若成立，证明你的结论。

二、角含半角模型

4、已知：

如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：

把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？

说明你的猜想并给予证明．

5、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°

，

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°

，得到△ABG，如图1，

△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2，

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系。

6、在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：

当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；

此时=__________

⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________（用x，L表示）

图

（1）图

（2）图（3）

三、对角互补类

7、已知：

，平分．

⑴在图1中，若，证明：

．

⑵在图2中，若，，探究、、三者之间的数量关系，并给出证明；

⑶在图3中：

若（），，则（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）

8、如图1，正方形和正方形，是正方形的对称中心，交于，交于．

⑴猜想：

与的数量关系

⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并加以证明．

⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并说明理由．

⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且，，其它条件不变，求出的值（直接写出答案）

四、直角三角形斜边中点

9、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

10、等腰直角三角形，为中点，，求的周长．

11、已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°

，D为AB边的中点，∠EDF=90°

，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F．

当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．

当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?

若成立，请给予证明；

若不成立，,,又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

五、等线段共点

12、如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长.

=,=,

=,=,

13、为等边内一点，，，求证：

以、、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

14、如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PD＝2，PC＝3，将绕着D点按逆时针旋转到的位置

（1）求的度数。

（2）求正方形的边长

六、费马点问题

15、阅读下列材料

对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点

②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点

解决问题：

⑴如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，

证明：

点为的费马点。

（即证明）且

⑵如图，点为三角形内部异于点的一点，证明：

⑶若，，，直接写出的最小值

16、如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．

⑴求证：

⑵①当点在何处时，的值最小；

②当点在何处时，的值最小，并说明理由；

⑶当的最小值为时，求正方形的边长．

17、阅读下列材料：

小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º

，BC=6，AC=5，在△ABC

内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．

小华是这样思考的：

要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º

，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．

（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；

（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º

，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；

②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

七、最值问题

18、已知：

，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧.

⑴如图，当时，求及的长；

⑵当变化，且其它条件不变时，求的最大值及相应的大小.

19、如图①，已知是等腰直角三角形，=90°

，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接、．

⑴试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．

⑵将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360°

），如图②，通过观察或测量等方法判断

（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请予以证明；

如果不成立，请说明理由．

⑶若，在②的旋转过程中，当为最大值时，求的值．

八、综合应用

20、已知：

在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．

⑴若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；

⑵如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；

如果成立，请给予证明．

21、已知：

如图，与为等腰直角三角形，．

⑴如图①，点、分别在边、上，联结、，点为线段的中点，联结，请你猜想与的数量关系：

（直接写出答案，不必证明）；

⑵如图②，在图1的基础上，将绕点逆时针旋转一个角度（）．

①与的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；

②求证：