概率论与数理统计课后答案北邮版第四章Word文件下载.docx
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=0.340
C2C3
10590=0.070冼0
C3C2
=0.007
C00
CM。
5=0C100
晋=0
C100
故E（X）=0.58300.34010.07020.0073
-0.501,
D（X）八[Xi-E（X）]P
i=Q
=（0-0.501）20.583（1-0.501）20.340：
：
；
■…川（5-0.501）20=0.432.
3•设随机变量X的分布律为
70
P1
P2
P3
且已知E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求P1,P2,P3.
【解】因r+p2+f3=1……①，
又E（X）=（—1）R+0畀十1^=P3—P=0.1……②，
E（X2）=（—1）2勒+02电+12匪=只+巳=0.9……
由①②③联立解得P=O.4,P2=0.1,P3=0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则
N
P（A）全概率公式'
P{A|X二k}_P{X=k}
7
Nk1N
P{X=k}kP{X=k}
7NNk」
1n
=n£
（X^n
5•设随机变量X的概率密度为
x,0乞x：
1,
f（x）=」2—x,1兰x兰2,
0,其他.
求E（X）,D（X）.
【解】E（X）
-be122
xf（x）dx=°
xdx亠Ix（2「x）dx
2--21322
E（X）xf（x）dxxdx亠Ix（2-x）dx=
01
故
6•设随机变量
的数学期望•
d（X）=E（x2）—[E（X）]2T
X，Y,Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量
（1）U=2X+3Y+1；
（2）V=YZ-4X.
（1）E[U]=E（2X+3Y+1）=2E（X）+3E（Y）+1
=253111=44.
（2）E[V]=E[YZ_4X]=E[YZ]_4E（X）
因Y,Z独立E（Y）_E（Z）-4E（X）
=118-45=68.
7•设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3,D（X）=12，D（Y）=16,求E（3X-2Y），
D（2X-3Y）.
（1）E（3X-2Y）=3E（X）-2E（Y）=33-23=3.
22
（2）D（2X-3Y）=2D（X）（-3）DY=412916=192.
8•设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（X,y）
k
0,
0：
x:
:
1,0：
y：
x,
其他.
试确定常数k,并求E（XY）.
1X1,,
【解】因f（x,y）dxdy二dxkdyk=1,故k=2
o旳2
1x
E（XY）二xyf（x,y）dxdyxdx2ydy=0.25.
0-0
9.设X,Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
0乞x岂1,1^4“），y5,
fY（y）=iy
其他；
0,其他•
求E（XY）.
【解】方法一：
先求X与Y的均值
12E（X）=0x2xdx3,
址_£
v5）令z=y_5址丄"
be.
E（Y）=j5ygy^=5ezidj0zz=d+516.
由X与Y的独立性，得
E（XY）=E（X）_E（Y）=26=4.
方法二：
利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
fX（x）“2x,
4y^）
2xe72,0_x_1,y5,
“沪皿閱⑶科。
，其他，
W,1/y_c）
E（XY）xy-2xedxdy
12（v-5）2
°
2xdx®
yedy6二4.
10.设随机变量
X，Y的概率密度分别为
fX（x）=*
2e,xa0,
fy（y）=*x兰0;
心y>
y乞0.
求
（1）
E（X+Y）;
（2）E（2XWY2）.
（X）二
._xfx（x）dx.x_2e'
xdx二[-xe'
x]0「
0e-2<
dx
e“dx=1.
02
-He+oc
E（Y）二―yf（yd0y-g
-oO
2勺°
2"
bC242
E（Y）yfY（y）dy「°
y^^yd^4^
113
从而
（1）E（XY）二E（X）E（Y）.
244
22115
（2）E（2X-3Y）=2E（X）-3E（Y）=2-3
288
11.设随机变量X的概率密度为
r_k2x2
cxe
=<
求
（1）系数c;
（2）E（X）;
（3）D（X）.
（1）由f（x）dx=ocxe上％dx厂1得c=2k2.
:
2k2x2
（2）E（X）二xf（x）d（x）=ox2kxedx
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品•安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0,1,2,
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
P{X
9
=0}0.
750,
=1}
_9_
0.204,
12
11
32
19
=2}=■:
<
-0.041,
=3}
=
浜=0.005
1211
10
109
于是，
得到X的概率分布表如下：
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得E（X）=00.75010.20420.04130.005=0.301.
E（X2）=02750120.204220.041320.005=0.413D（X）二E（X2）-[E（X）]2=0.413-（0.301）2=0.322.
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：
100元和-200元
PWgpX—}14
P{Y=-200}=PX<
1>
/4e
故E（Y）=100e」/4（—200）（1-e」/4）=300e」/4-200=33.64（元）.
⑶因E（XJ二u,D（XJ乂2,故E（X：
）=D（Xi）（EXJ2*2u2.
从而
盒i=1,2,…,
E（s2）=E-1-rX：
—nX2）=-^[E^X：
）—nE（X2）]
ILn-1vn-1i4
15.对随机变量X和丫，已知D（X）=2,D（Y）=3,Cov（X,Y）=-1,计算：
Cov（3X-2Y+1,X+4Y-3）.
【解】Cov（3X-2Y1,X4Y-3）=3D（X）10Cov（X,Y）-8D（Y）
=3210（-1）-83二-28
（因常数与任一随机变量独立，故Cov（X,3）=Cov（Y,3）=0,其余类似）.
16•设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
J-,X2+y2兰1,f（x,y）=n
[o,其他.
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的•
【解】设D={（x,y）|x2y2_1}.
112n12
xydxdyrsinrcosrrdrd；
-0,
00
nx2-y2!
n
由此得，xy=0,故X与Y不相关•
显然fx（x）-fY（y）=f（x,y）.
故X和Y不是相互独立的
17•设随机变量（X,Y）的分布律为
-10
-1
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的•
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的
分布律，其分布律如下表
X-101
8
Y
XY
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E（XY）=E（X）E（Y）,再由相关系数性质知p<
Y=0,
即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的•
331
又P{X二-1}F{Y二-1}P{X二-1,丫二—1}
888
从而X与Y不是相互独立的•
18•设二维随机变量（X,Y）在以（0,0）,（0,1）,（1,0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X,Y）,釵丫.
【解】如图，Sd=，故（X,Y）的概率密度为
题18图
）12,（x,y）^D,
心沪0,其他.
同理
所以
E（X）=xf（x,y）dxdy二
0dx0x2d^-
11_x
E（X2）=x2f（x,y）dxdy=
0dx.0
2x2dy
D（X）=E（X）-[E（X）]
19.设（X,Y）
求协方差
_18
E（XY）二xyf（x,y）dxdy
Cov（X,Y）
的概率密度为
f（x,y）
二2xydxdy
D
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