高中数学 第一章 算法初步 11 算法与程序框图 111 算法的概念教学案 新人教A版必修3Word文件下载.docx
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(5)普遍性:
给出一个算法的程序步骤,它可以解决一类问题,并且能够多次重复使用.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)求解一类问题的算法是唯一的( )
(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题( )
(3)算法执行后一定产生确定的结果( )
解析:
由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知
(1)错,
(2)、(3)对.
答案:
(1)×
(2)√ (3)√
2.下列叙述不能称为算法的是( )
A.从北京到上海先乘汽车到飞机场,再乘飞机到上海
B.解方程4x+1=0的过程是先移项再把x的系数化成1
C.利用公式S=πr2计算半径为2的圆的面积得π×
22
D.解方程x2-2x+1=0
选D 选项A,B给出了解决问题的方法和步骤,是算法;
选项C是利用公式计算,也属于算法;
选项D只提出问题没有给出解决的方法,不是算法.
3.下面是某人出家门先打车去火车站,再坐火车去北京的一个算法,请补充完整.
第一步,出家门.
第二步,________________.
第三步,坐火车去北京.
打车去火车站
算法概念的理解
[典例] 下列说法正确的是( )
A.算法就是某个问题的解题过程
B.算法执行后可以产生不同的结果
C.解决某一个具体问题算法不同,则结果不同
D.算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施
[解析] 选项B正确,例如:
判断一个整数是否为偶数,结果为“是偶数”和“不是偶数”两种;
选项A,算法不能等同于解法;
选项C,解决某一个具体问题算法不同,但结果应相同;
选项D,算法可以为很多次,但不可以无限次.
[答案] B
算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常解决某一个或一类问题,用算法解决问题,体现了从特殊到一般的数学思想.
[活学活用]
有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤:
第一步,检验6=3+3.
第二步,检验8=3+5.
第三步,检验10=5+5.
……
利用计算机一直进行下去!
请问:
利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗?
这是一个算法吗?
解:
利用这种步骤不能证明猜想的正确性.此步骤不满足算法的有限性,因此不是算法.
算法的设计
[典例] 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法.
[解] 法一:
第一步,计算1+2得到3.
第二步,将第一步中的运算结果3与3相加得到6.
第三步,将第二步中的运算结果6与4相加得到10.
第四步,将第三步中的运算结果10与5相加得到15.
第五步,将第四步中的运算结果15与6相加得到21.
法二:
第一步,将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×
7.
第二步,计算3×
设计具体问题的算法的一般步骤
(1)分析问题,找出解决问题的一般数学方法;
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述;
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤;
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
1.求1×
3×
5×
7×
9×
11的值的一个算法如下,请补充完整.
第一步,求1×
3得结果3.
第二步,将第一步所得结果3乘以5,得到结果15.
第三步,_________________________________________________________________.
第四步,再将第三步所得结果105乘以9,得到结果945.
第五步,再将第四步所得结果945乘以11,得到结果10395,即为最后结果.
依据算法功能可知,第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7,得到结果105”.
再将第二步所得结果15乘以7,得到结果105
2.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
法一:
第一步,移项得x2-2x=3.①
第二步,①式两边同时加1,并配方得(x-1)2=4.②
第三步,②式两边开方,得x-1=±
2.③
第四步,解③式得x1=3,x2=-1.
第一步,计算出一元二次方程的判别式的值,并判断其符号.显然Δ=(-2)2-4×
1×
(-3)=16>
0.
第二步,将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x1,2=,得x1=3,x2=-1.
[层级一 学业水平达标]
1.下列关于算法的说法中正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步骤操作之后停止;
③x2-x>2是一个算法;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2
C.3D.4
选B 依据算法的多样性(不唯一性)知①错误;
由算法的有限性,确定性知②④正确;
因为x2-x>2仅仅是一个数学问题,不能表达一个算法,所以③是错误的;
由于算法具有可执行性,正确的有②④.
2.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
( )
①计算c=;
②输入直角三角形两直角边长a,b的值;
③输出斜边长c的值.其中正确的顺序是( )
A.①②③B.②③①
C.①③②D.②①③
选D 明确各步骤间的关系即可知D选项正确.
3.下列叙述中,
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;
②按顺序进行下列运算:
1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;
③从青岛乘火车到济南,再从济南乘飞机到广州;
④3x>x+1;
⑤求所有能被3整除的正数,即3,6,9,12,….
能称为算法的个数为( )
A.2B.3
C.4D.5
选B 根据算法的含义和特征知:
①②③都是算法;
④⑤不是算法.其中④,3x>x+1不是一个明确的步骤,不符合确定性;
⑤的步骤是无穷的,与算法的有限性矛盾.
4.下列所给问题中,不能设计一个算法求解的是( )
A.用“二分法”求方程x2-3=0的近似解(精确度0.01)
B.解方程组
C.求半径为2的球的体积
D.求S=1+2+3+…的值
选D 对于D,S=1+2+3+…,不知道需要多少步完成,所以不能设计一个算法求解.
[层级二 应试能力达标]
1.一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增,若第一年的产量为a,“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是( )
A.y=an0.18B.y=a(1+18%)n
C.y=a(1+18%)n-1D.y=n(1+18%)n
选C 根据已知条件可以得出满足题意的函数解析式为y=a(1+18%)n-1.
2.如下算法:
第一步,输入x的值.
第二步,若x≥0,则y=x.
第三步,否则,y=x2.
第四步,输出y的值.
若输出的y值为9,则x的值是( )
A.3B.-3
C.3或-3D.-3或9
选D 根据题意可知,此为分段函数
y=的算法,
当x≥0时,x=9;
当x<0时,x2=9,所以x=-3.
综上所述,x的值是-3或9.
3.对于算法:
第一步,输入n.
第二步,判断n是否等于2,若n=2,则n满足条件;
若n>
2,则执行第三步.
第三步,依次从2到(n-1)检验能不能整除n,若不能整除n,则执行第四步;
若能整除n,则结束算法.
第四步,输出n.
满足条件的n是( )
A.质数B.奇数
C.偶数D.约数
选A 此题首先要理解质数,只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数,这个算法通过对2到(n-1)一一验证,看是否有其他约数,来判断其是否为质数.
4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个过程.从下列选项中选出最好的一种算法( )
A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,吃饭.第六步,听广播
B.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭.第五步,听广播
C.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭同时听广播
D.第一步,吃饭同时听广播.第二步,泡面.第三步,烧水同时洗脸刷牙.第四步,刷水壶
选C 因为A选项共用时间36min,B选项共用时间31min,C选项共用时间23min,D选项的算法步骤不符合常理,故选C.
5.以下是解二元一次方程组的一个算法,请将该算法补充完整.
第一步,①②两式相加得3x+9=0. ③
第二步,由③式可得________.④
第三步,将④式代入①式,得y=0.
第四步,输出方程组的解________.
由3x+9=0,得x=-3,即④处应填x=-3;
把x=-3代入2x-y+6=0,得y=0,即方程组的解为
x=-3
6.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均成绩的一个算法为:
第一步,输入A=89,B=96,C=99.
第二步,__________________________.
第三步,__________________________.
第四步,输出计算的结果.
应先计算总分D=A+B+C,然后再计算平均成绩E=.
计算总分D=A+B+C 计算平均成绩E=
7.使用配方法解方程x2-4x+3=0的算法的步骤是________(填序号).
①配方得(x-2)2=1;
②移项得x2-4x=-3;
③解得x=1或x=3;
④开方得x-2=±
1.
使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行.
②①④③
8.对任意三个整数a,b,c,写出求最大数的算法.
算法如下:
第一步,令max=a.
第二步,比较max与b的大小,若b>
max,则令max=b;
否则,执行第三步.
第三步,比较max与c的大小,若c>
max,则令max=c;
否则,执行第四步.
第四步,max就是a,b,c中的最大数.
9.已知直线l1:
3x-y+12=0和直线l2:
3x+2y-6=0,设计一个算法,求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积.
第一步,解方程组得l1,l2的交点为P(-2,6).
第二步,在方程3x-y+12=0中,令x=0,得y=12,从而得到l1与y轴的交点为A(0,12).
第三步,在方程3x+2y-6=0中,令x=0,得y=3,从而得到l2与y轴的交点为B(0,3).
第四步,求出△ABP的边长AB=12-3=9.
第五步,求出△ABP的边AB上的高h