高中数学步步高大一轮复习讲义文科第三章33Word格式文档下载.docx

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福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）

A．任意x∈R，f（x）≤f（x0）

B．－x0是f（－x）的极小值点

C．－x0是－f（x）的极小值点

D．－x0是－f（－x）的极小值点

答案　D

解析　A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f（x）与函数y＝f（－x）的图像

关于y轴对称，－x0应是f（－x）的极大值点．C错，函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图像关于x轴对称，x0应为－f（x）的极小值点．D对，函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f（－x）的极小值点．

3．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

A．1B.C.D.

解析　|MN|的最小值，即函数h（x）＝x2－lnx的最小值，

h′（x）＝2x－＝，显然x＝是函数h（x）在其定义域内唯一的极小值点，

也是最小值点，故t＝.

4．若函数f（x）＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．

答案　（－2,2）

解析　由于函数f（x）是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′（x）＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±

1，只需f（－1）·

f

（1）<

0，即（a＋2）（a－2）<

0，故a∈（－2,2）．

5．若f（x）＝，0<

a<

b<

e，则f（a）、f（b）的大小关系为________．

答案　f（a）<

f（b）

解析　f′（x）＝，当x∈（0，e）时，>

0，即f′（x）>

0，

∴f（x）在（0，e）上为增函数，又∵0<

e，∴f（a）<

f（b）．

题型一　利用导数证明不等式

例1　已知定义在正实数集上的函数f（x）＝x2＋2ax，g（x）＝3a2lnx＋b，其中a>

0.设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：

f（x）≥g（x）（x>

0）．

思维启迪　

（1）设公共点为（x0，y0），则f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0）可得a，b的关系；

（2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的最值．

（1）解　设两曲线的公共点为（x0，y0），

f′（x）＝x＋2a，g′（x）＝，

由题意知f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），

即

由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a（舍去）．

即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.

令h（t）＝t2－3t2lnt（t>

0），则h′（t）＝2t（1－3lnt）．

于是当t（1－3lnt）>

0，即0<

t<

e时，h′（t）>

0；

当t（1－3lnt）<

0，即t>

e时，h′（t）<

0.

故h（t）在（0，e）上为增函数，在（e，＋∞）上为减函数，

于是h（t）在（0，＋∞）上的最大值为h（e）＝e，

即b的最大值为e.

（2）证明　设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋2ax－3a2lnx－b（x>

0），

则F′（x）＝x＋2a－＝（x>

故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，＋∞）上为增函数．

于是F（x）在（0，＋∞）上的最小值是F（a）＝F（x0）＝f（x0）－g（x0）＝0.

故当x>

0时，有f（x）－g（x）≥0，

即当x>

0时，f（x）≥g（x）．

思维升华　利用导数证明不等式的步骤

（1）构造新函数，并求其单调区间；

（2）判断区间端点函数值与0的关系；

（3）判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．

　当0<

x<

时，求证：

tanx>

x＋.

证明　设f（x）＝tanx－，

则f′（x）＝－1－x2＝tan2x－x2

＝（tanx－x）（tanx＋x）．

因为0<

，所以x<

tanx（简单进行证明亦可），

所以f′（x）>

即x∈时，f（x）为增函数．

所以x∈时，f（x）>

f（0）．

而f（0）＝0，所以f（x）>

0，即tanx－>

故tanx>

题型二　利用导数求参数的取值范围

例2　已知函数f（x）＝（a∈R），g（x）＝.

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）若函数f（x）的图像与函数g（x）的图像在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

思维启迪　

（1）解f′（x）＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；

（2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），通过F（x）的单调性和函数值的变化研究f（x）、g（x）的交点情况．

解　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝.

令f′（x）＝0，得x＝e1－a，

当x∈（0，e1－a）时，f′（x）>

0，f（x）是增函数；

当x∈（e1－a，＋∞）时，f′（x）<

0，f（x）是减函数．

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e1－a]，

单调递减区间为[e1－a，＋∞），

极大值为f（x）极大值＝f（e1－a）＝ea－1，无极小值．

（2）令F（x）＝f（x）－g（x）＝，

则F′（x）＝.

令F′（x）＝0，得x＝e2－a；

令F′（x）>

0，得x<

e2－a；

令F′（x）<

0，得x>

e2－a，

故函数F（x）在区间（0，e2－a]上是增函数，

在区间[e2－a，＋∞）上是减函数．

①当e2－a<

e2，即a>

0时，

函数F（x）在区间（0，e2－a]上是增函数，

在区间[e2－a，e2]上是减函数，F（x）max＝F（e2－a）＝ea－2.

又F（e1－a）＝0，F（e2）＝>

由图像，易知当0<

e1－a时，F（x）<

当e1－a<

x≤e2，F（x）>

此时函数f（x）的图像与函数g（x）的图像在区间（0，e2]上有1个公共点．

②当e2－a≥e2，即a≤0时，F（x）在区间（0，e2]上是增函数，

F（x）max＝F（e2）＝.

若F（x）max＝F（e2）＝≥0，即－1≤a≤0时，

函数f（x）的图像与函数g（x）的图像在区间（0，e2]上只有1个公共点；

若F（x）max＝F（e2）＝<

0，即a<

－1时，

函数f（x）的图像与函数g（x）的图像在区间（0，e2]上没有公共点．

综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞）．

思维升华　函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一．

　已知函数f（x）＝x3－3ax－1，a≠0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝3x2－3a＝3（x2－a），

当a<

0时，对x∈R，有f′（x）>

∴当a<

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）．

当a>

0时，由f′（x）>

解得x<

－或x>

.

由f′（x）<

0，解得－<

，

∴当a>

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，－），（，＋∞），单调减区间为（－，）．

（2）∵f（x）在x＝－1处取得极值，

∴f′（－1）＝3×

（－1）2－3a＝0，

∴a＝1.

∴f（x）＝x3－3x－1，f′（x）＝3x2－3，

由f′（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

由

（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，

在x＝1处取得极小值f

（1）＝－3.

∵直线y＝m与函数y＝f（x）的图像有三个不同的交点，结合如图所示f（x）的图像可知：

实数m的取值范围是（－3,1）．

二审结论会转换

典例：

（12分）已知函数f（x）＝x2＋alnx.

（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若a＝1，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；

（3）若a＝1，求证：

在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图像在函数g（x）＝x3的图像的下方．

求f（x）的极值

↓（从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域）

求f′（x）＝0的解，即f（x）的极值点

↓（转化为求函数值）

将极值点代入f（x）求对应的极大、极小值

↓（转化为研究单调性）

求f（x）在[1，e]上的单调性

比较端点值、极值，确定最大、最小值

↓（构造函数进行转化）

F（x）＝f（x）－g（x）

↓（将图像的上、下关系转化为数量关系）

求证F（x）<

0在[1，＋∞）上恒成立．

↓研究函数F（x）在[1，＋∞）上的单调性．

规范解答

（1）解　由于函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

当a＝－1时，f′（x）＝x－＝，[1分]

令f′（x）＝0得x＝1或x＝－1（舍去），[2分]

当x∈（0,1）时，函数f（x）单调递减，[3分]

当x∈（1，＋∞）时，函数f（x）单调递增，[4分]

所以f（x）在x＝1处取得极小值为.[5分]

（2）解　当a＝1时，易知函数f（x）在[1，e]上为增函数，[6分]

∴f（x）min＝f

（1）＝，f（x）max＝f（e）＝e2＋1.[7分]

（3）证明　设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋lnx－x3，

则F′（x）＝x＋－2x2＝，[9分]

当x>

1时，F′（x）<

故f（x）在区间[1，＋∞）上是减函数，又F

（1）＝－<

∴在区间[1，＋∞）上，F（x）<

0恒成立．

即f（x）<

g（x）恒成立．[11分]

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图像在函数g（x）图像的下方．[12分]

温馨提醒　

（1）导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；

最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；

参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用．

（2）对于一