学年高中数学模块综合检测新人教B版选修21Word下载.docx
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D
3.若a=(1,-1,-1),b=(0,1,1)且(a+λb)⊥b则实数λ的值是( )
A.0B.1
C.-1D.2
λb=(0,λ,λ),
a+λb=(1,λ-1,λ-1).
∵(a+λb)⊥b,∴(a+λb)·
b=0,
∴λ-1=0,λ=1.
B
4.已知命题p:
∀x∈R,x≥1,那么命题綈p为( )
A.∀x∈R,x≤1
B.∃x0∈R,x0<1
C.∀x∈R,x≤-1
D.∃x0∈R,x0<-1
全称命题的否定是特称命题.
5.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )
A.B.-
C.8D.-8
由y=ax2得x2=y,
∴=-8,∴a=-.
6.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为( )
A.B.
C.D.
因为椭圆+=1的离心率e1=,
所以1-=e=,
即=,而在双曲线-=1中,设离心率为e2,
则e=1+=1+=,所以e2=.
7.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:
a+c>b+d,q:
a>b且c>d
B.p:
a>1,b>1,q:
f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限
C.p:
x=1,q:
x2=x
D.p:
a>1,q:
f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数
由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,且c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.
8.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且AB=BC=2,AD=3,PA⊥平面ABCD且PA=2,则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0).
=(2,0,-2),=(-2,1,0),=(0,3,-2).
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则取x=1得n=(1,2,3).
cos〈,n〉===-,
可得PB与平面PCD所成角的正弦值为.
9.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为( )
取BC中点O,连接AO,DO.
建立如图所示坐标系,设BC=1,
则A,B,D.
∴=,=,=.
由于=为面BCD的法向量,
可进一步求出面ABD的一个法向量n=(1,-,1),
∴cos〈n,〉=,
∴sin〈n,〉=.
C
10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于( )
A.B.2
双曲线的一条渐近线为y=x,
由消y得x2-x+1=0.
由题意,知Δ=2-4=0
∴b2=4a2.
又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2.
∴=.
11.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.椭圆B.圆
C.双曲线的一支D.线段
∵P为MF1中点,O为F1F2的中点,∴OP=MF2,又MF1+MF2=2a,∴PF1+PO=MF1+MF2=a.∴P的轨迹是以F1,O为焦点的椭圆.
12.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为( )
以A为坐标原点,AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=AB=AC=2,则=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),=(0,-1,2),所以·
=0,
所以QP与AM所成角为.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.双曲线-=1的焦距是________.
依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c2=a2+b2=16,c=4,2c=8.
8
14.命题p:
若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:
函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有________.
依题意可知p假,q真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈p”为真.
p∨q,綈p
15.已知A(0,-4),B(3,2),抛物线y2=x上的点到直线AB的最短距离为________.
直线AB为2x-y-4=0,设抛物线y2=x上的点P(t,t2),d===≥=.
16.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为________.
建系如图,
则M,N,A(1,0,0),C(0,1,0),
∴=,=.
∴cos〈,〉===.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)命题p:
x2-4mx+1=0有实数解,命题q:
∃x0∈R,使得mx-2x0-1>0成立.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题綈p∨綈q为真命题,且命题p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
(1)∵x2-4mx+1=0有实根;
∴Δ=16m2-4≥0,∴m≤-或m≥.
∴m的取值范围是∪.
(2)设f(x)=mx2-2x-1.
当m=0时,f(x)=-2x-1,q为真命题;
当m>0时,q为真命题;
当m<0时,需有Δ=4+4m>0,
∴m>-1,综上m>-1.
(3)∵綈p∨綈q为真,p∨q为真,
∴p、q为一真一假.p、q为真时m的范围在数轴上表示为
p真,q假时,m≤-1;
p假,q真时,-<m<.
∴满足条件的m的取值范围是m≤-1或-<m<.
18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.
(1)求证:
EG∥AC;
(2)求证:
平面EFG∥平面AB1C.
证明:
把{,,}作为空间的一个基底.
(1)因为=+=+,=+,
所以=2.所以EG∥AC.
(2)由
(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,
所以EG∥平面AB1C.
因为=+=+,=+,
所以=2.所以FG∥AB1.
又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C,
所以FG∥平面AB1C.
又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.
19.(本小题满分12分)已知直线l:
y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点为.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=5上,求此椭圆的方程.
(1)由得
(b2+a2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.
Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0⇒a2+b2>1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=.
∵线段AB的中点为,
∴=,于是得:
a2=2b2.
又a2=b2+c2,∴a2=2c2,∴e=.
(2)设椭圆的右焦点为F(c,0),则点F关于直线l:
y=-x+1的对称点为P(1,1-c),
由已知点P在圆x2+y2=5上,
∴1+(1-c)2=5,c2-2c-3=0.
∵c>0,∴c=3,
又∵a2=2c2,∴a2=18,a=3.∴b=3,
∴椭圆方程为+=1.
20.(本小题满分12分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,点O是坐标原点.
OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
(1)证明:
当k=0时直线与抛物线仅一个交点,不合题意,
∴k≠0由y=k(x+1)得x=-1代入y2=-x整理得:
y2+y-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)则y1+y2=-,y1y2=-1.
∵A,B在y2=-x上,
∴A(-y,y1),B(-y,y2),
∴kOA·
kOB=·
==-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于E,则E(-1,0),∴|OE|=1,
S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|
==,
解得k=±
.
21.(本小题满分12分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
AF∥平面BCE;
平面BCE⊥平面CDE;
(3)在DE上是否存在一点P,使直线BP和平面BCE所成的角为30°
设AD=DE=2AB=2a,
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(0,0,a),C(2a,0,0),D(a,a,0),E(a,a,2a),
∵F为CD的中点,∴F.
=,
=(a,a,a),=(2a,0,-a),
∵=(+),
AF⊄平面BCE,∴AF∥平面BCE.
(2)证明:
∵=,
=(-a,a,0),=(0,0,-2a),
∴·
=0,·
∴⊥,⊥.
∴⊥平面CDE.又∵AF∥平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE.
(3)设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),
由n·
=0,n·
=0可得:
x+y+z=0,2x-z=0,
取n=(1,-,2),
不妨取a=1,则B(0,0,1),
设存在P(1,,t)满足题意,
则=(1,,t-1)(0≤t≤2),
设BP和平面BCE所成的角为θ,
则sinθ=
解得t=3±
,取t=3-∈[0,2],
∴存在P(a,a,(3-)a),使直线BP和平面BCE所成的角为30°
22.(本小题满分12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:
y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A,B,求△OAB面积的最大值.