双曲线提高训练题含详细答案Word文件下载.docx
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D.
.5+1
4.[2011佛山一检]
已知双曲线
a2-各1（a>
0，
b>
0）与抛物线
y2=8x有一个公共的焦
点F，且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）
A.x±
3y=0B.,3x±
y=0
C.xi2y=0D.2x±
（=0
5.[2010福建卷]若点O和点F（—2,0）分别是双曲线乏—y=1（a>
0）的中心和左焦点,
a
点p为双曲线右支上的任意一点，则OPfP的取值范围为（）
A.[3—2,3,±
s）B.[3+23,+^）
曲线一个交点为p,且/PF1F2=n，则双曲线的渐近线方程为
6
22
11.双曲线x2—古=1（a>
0,b>
0）的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的
ab
左支于A,B两点，且|AB|=口，则厶ABF2的周长为.
12.[2011全国卷]已知F1、F2分别为双曲线C:
；
—27=1的左、右焦点，点A€C,点M的坐标为（2,0）,AM为/F1AF2的平分线，则|AF2|=.
x2y2、
13.[2011辽宁卷]已知点（2,3）在双曲线C:
孑一卡=1（a>
0）上，C的焦距为4,
则它的离心率为.
14.（10分）[2011湖北八校一联]如图K49—-,已知双曲线x2—y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线I:
y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别
为P1（X1,y1）,P2（X2,y2）.
（1）求k的取值范围，并求X2—X1的最小值；
⑵记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1k2是定值吗？
证明你的结论.
图K49—2
15.（13分）已知两定点Fi（—2,0）,F2（2,0），满足条件|PF2—|PFi|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx—1与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6,3，且曲线E上存在点C,使示+O）B=mO）C，求m的值和△ABC的面积S.
x2v2
16.（12分）[2011黄石调研]已知双曲线-2—1（a>
0）的右顶点为A，右焦点为F,
直线x=貴c=.a2+b2）与X轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点0为坐标原点，又oA
c
=2（0B,OA0C=2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N,点P为点M关于x轴的对
称点.
（1）求双曲线的方程；
⑵证明：
B、P、N三点共线;
（3）求厶BMN面积的最小值.
故e=C=5.
2h?
h?
2b?
b2b?
b
10.y=±
2x［解析］根据已知|PFi|=——且|PF2|=—，故————=2a，所以p=2，-=
aaaaaa
2.
|AF2|—|AFi|=2a,
11.4a+2m［解析］由？
|AF21+|BF2|-（|AFi|+|BFi|）=4a,又|AFi|
|BF2|—|BFi|=2a
+|BFi|=|AB|=m,A|AF2|+|BF2|=4a+口.则厶ABF2的周长为|AF21+|BF2|+|AB|=4a+2m.
鬻=齢2又|AFi—|AF2|=6,故|AF2|=6.
x2y249
［解析］方法一：
点（2,3）在双曲线C：
孑一y2=i上，则孑一—2=〔•又由于2c=4,
4—9=i
所以a2+b2=4•解方程组ab得a=i或a=4.由于a<
c,故a=i.所以离心率为e
a2+b2=4
i4.［解答］（i）Tl与圆相切，二
m2=i+k2,①
y=kx+m,
由22得（i—k2）x2—2mkx—（m2+i）=0,
x2—y2=i,
i—k2^0,
△=4m2k2+4i—k2m2+i=4m2+i—k2=8>
0,m2+i
xix2=迄二y<
0,
•k2<
i，•—i<
k<
i，故k的取值范围为（一i,i）.
2mk
由于Xi+X2=2,
i—k
2,2222
…X2—xi=xi+X22—4xix2=2=2，
N|i—k2|i—k2
•••OWk2<
i.•.当k2=0时，X2—xi取最小值为22.
⑵由已知可得Ai,A2的坐标分别为（一i,0）,（i,0）,
•ki=^,k2=±
Xi+iX2—i
yiy2
.,一wkxi+mkx2+m
--kik2==
xi+iX2—ixi+iX2—i
k2xiX2+mkxi+X2+m2
XiX2+X2—xi—i
2m2+i,2mk2
k2•_7—mk•;
+m2
k2—ik2—i
m2+i2.2彳
k2—m2
k2—i—k2—i—im2k2+k2—2m2k2+m2k2—m2
由①，得m2—k2=1,
—1
kik2==—（3+2弋2）为定值.
15.
0）为焦点的双曲
［解答］由双曲线的定义可知，曲线E是以Fi（—2,0）,F2（2,
线的左支，
且c=・J2,a=1，易知b=1,
故曲线E的方程为x2—y2=1（x<
0）.
y=kx—1,
设A（X1,y1）,B（x2,y2）,由题意建立方程组22
x2—y2=1,
消去y,得（1—k2）x2+2kx—2=0,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
1—k2^0,
△=2k2+81—k2>
解得—，2<
—1.
—2k
X1+x2=1—2<
0,
又•/|AB|=1+k2|x1—X2|
=,1+k2•,
=1+k2•
X1+X2—4X1X2
，—2k2—2
/1—2-4X百？
=2；
1+k22—k2
=.1—k22,
/1+k2~ok2
依题意得21十;
一$2k=6,3，整理后得
28k4—55k2+25=0,
•k2=5或k2=4又-^2<
—1,•k=—%5,故直线AB的方程为于乂十y+1=0.
设C（xc,yc），由已知0A十Ofe=mOC,
得（X1,y1）十（X2,y2）=（mxc,myc）,
y1*y2/c、
（m^0）.
.Xl±
X2
••（Xc,yc）=m
2k
又X1+X2=
m
k2—1=—45,.•.点C二/,R，将点
mm
但当m=—4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，•
5X—5+2+1
21
3’
2k22。
y1+y2=k（x1+X2）—2=k2——2=^2—1=8,
C的坐标代入曲线E的方程，得8°
>
—气=1,
m=4,
C点的坐标为（一，5,2）,C到AB的距离为
上52+[2
得m=±
4,
11
ABC的面积S=63X3=T3.
【难点突破】
16.［解答］
（1）由题意得
a=
2a
解得
a2=4,
a3=2c,
c2=16,
•••b2=c2-a2=12,「.双曲线方程为--忙=1.
412
由
（1）可知得点B（1,0），设直线I的方程为：
x=ty+4,
X-乂=1,
由412可得（3t2-1）y2+24ty+36=0.
设M（x1,y1）,N（X2,y2），则P（X1,-y"
-24t
y1+y2=3?
-r,tt
所以
36
（X1—1,-y1）,BN=（X2—1,y2）,
y1y2=k,
因为（X1—1）y2+y1（x2—1）=X1y2+y1X2—y1—y=2ty1y2+3（y1+y2）
=0,
所以向量BP,BN共线.所以B,P,N三点共线.⑶因为直线I与双曲线右支相交于M,N,
所以X1X2=（ty1+4）（ty2+4）>
0,所以t2<
3,
118^1+t26迈p3+3t2
0BMN=[IBFIIy1—y2|=|3t2—1|=1—3t2,令u=1—3t2,u€（0,1],
双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）
（c,0），则p=c,即p=2c,抛物线方程为y2
=1,y2=4cc,消掉y得晋=1,即J（b2—4a2）=a2b2，即c2（c2—5a2）=a2（c2—a2）,即c4—6a2c2+a4=0,即e4—6e2+1=0,解得W=6\32=3+22,故e=1+.2.
9.D［解析］不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列，贝U4c2=|PF1|2+|PF2|2，由2|PF2|=2c+|PF11,且|PF2|—|PF1|=2a,解得|PF1|=2c—4a,|PF2|=2c—2a,代入4c2=IPF1f+|PF2|2,得4c2=（2c—2a）2+（2c—4a）2，化简整理得c2—6ac+5a2=0，解得c=a（舍去）或者c=5a,
m2+i—22—k2+i=m2—k2+2—2、2，
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