数学必修4人教B版第二章 222Word格式文档下载.docx
《数学必修4人教B版第二章 222Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学必修4人教B版第二章 222Word格式文档下载.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
知识点三 |a|－|b|，|a±
b|，|a|＋|b|三者的关系
思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±
b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±
b|≤|a|＋|b|.
梳理 当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图
（1），根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<
|a＋b|<
|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图
（2），此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>
|b|，作法同上，如图（3），此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋（－b）|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±
1．相反向量就是方向相反的向量．（ ×
）
提示 相反向量的方向相反，大小相等；
方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
2．向量与是相反向量．（ √ ）
提示 与大小相等、方向相反．
3．－＝，－（－a）＝a.（ √ ）
提示 根据相反向量的定义可知其正确．
4．两个相等向量之差等于0.（ ×
提示 两个相等向量之差等于0.
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
考点 向量的减法运算及其应用
题点 求作差向量
解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；
若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
跟踪训练1 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
b＋c－a.
解 方法一 以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
方法二 作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子：
（1）－－－；
（2）（－）－（－）．
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
解
（1）原式＝＋－＝＋＝－＝0.
（2）原式＝－－＋
＝（－）＋（－）＝＋＝0.
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：
两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．
跟踪训练2 化简：
（1）（－）－（－）；
（2）（＋＋）－（－－）．
解
（1）（－）－（－）
＝－＝.
（2）（＋＋）－（－－）
＝＋－＋（＋）
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
类型三 向量减法几何意义的应用
例3 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用
题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
解 ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
反思与感悟
（1）如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
（2）在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；
当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
（3）在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；
当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
跟踪训练3 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
答案 B
解析 ∵＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.∴四边形ABCD为矩形.
1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是（ ）
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
考点 向量减法的定义及其几何意义
题点 向量减法的定义及其几何意义
解析 由向量的加法、减法法则，得
＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
故选B.
2.－＋＋等于（ ）
A.B.C.D.
3．下列等式成立的个数是（ ）
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－（－a）＝a；
⑤a＋（－a）＝0.
A．5B．4C．3D．2
解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．
4.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
题点 用已知向量表示未知向量
解 ∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋（－b）．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
一、选择题
1．（2018·
舟山中学开学考试）＋－等于（ ）
A.B.
C.D.
题点 利用向量的加、减法表示向量
答案 D
2．在平行四边形ABCD中，＋－等于（ ）
题点 几何图形中的向量加、减法运算
答案 C
解析 在平行四边形ABCD中，＝，＝，
所以＋－＝（－）＋＝.
3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为（ ）
A．1B．2C.D.
解析 如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|
＝||＝.
4．（2017·
三门峡灵宝三中质检）下列四个式子中可以化简为的是（ ）
①＋－；
②－；
③＋；
④－.
A．①④B．①②C．②③D．③④
答案 A
解析 因为＋－＝－＝＋＝，
所以①正确，排除C，D；
因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.
5．（2017·
金华十校期末）M是△ABC边AB上的中点，记＝a，＝b，则向量等于（ ）
A．－a－bB．－a＋b
C．a－bD．a＋b
解析 由题意得＝b，
∴＝－＝a－b.
6．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是（ ）
A．[3,8]B．（3,8）
C．[3,13]D．（3,13）
考点 向量减法的定义及几何意义
题点 向量减法的三角不等式
解析 ∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||，
∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于（ ）
A．a－b＋c
B．b－（a＋c）
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
考点 向量加减法的综合运算及应用
二、填空题
8．化简：
（1）＋－＝________；
（2）－－－＝________.
答案
（1）0
（2）
解析
（1）＋－＝＋＝0；
（2）－－－＝（－）－（＋）
＝－0＝.
9．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°
，则|a－b|＝________.
题点 利用向量的加、减法运算求向量的模
答案 13
解析 ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°
，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
题点 几何图形中向量的加、减法运算
答案
11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
答案 2
解析 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，∴||＝||＝||＝2.
12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则
（1）|a＋b＋c|＝________；
（2）|a－b＋c|＝______.
题点 利用向量的加、减法
升级会员 