高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8 4椭 圆Word下载.docx
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0,m≠n>
,这样可避免讨论和复杂的计算;
也可设为Ax2+By2=1(A>
0,B>
0,A≠B>
这种形式,在解题时更简便.DXDiTa9E3d
求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法,有时还可根据条件用代入法。
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是:
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1)作判断:
根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能。
2)设方程:
根据上述判断设方程。
3)找关系:
根据已知条件,建立关于的方程组。
4)得方程:
解方程组,将解代入所设方程,即为所求。
注:
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为,这种形式在解题时更简便。
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※例题解读※
〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=____;
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方法诠释:
注意|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|,再结合题设即可得出结论;
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解读:
由椭圆的定义及椭圆的标准方程得:
|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,
又已知|F2A|+|F2B|=12,
所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.
答案:
8
〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5、3,过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。
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设椭圆方程为→根据题意求→得方程。
设所求的椭圆方程为,
由已知条件得
故所求方程为
方法指导:
1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解;
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2.在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可先求出椭圆长轴长,再想法求短轴长,从而得出方程;
若已知点的坐标,可先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求解;
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⒊当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形,无论哪种情形,始终有a>
0.
二)椭圆的几何性质
1.椭圆几何性质中的不等关系
椭圆的几何性质涉及一些不等关系,例如对椭圆,有等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值时,经常用到这些不等关系。
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2.利用椭圆几何性质应注意的问题
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.EmxvxOtOco
3.求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率时,一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式<
或不等式),利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.或者是:
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应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围。
离心率e与的关系:
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椭圆离心率的范围:
0<
e<
1.
〖例〗已知椭圆的长轴、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M<
在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,向量与是共线向量。
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(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任意一点,、分别是左、右焦点,求∠的取值范围。
思路解读:
由与是共线向量可知AB∥OM,从而可得关于的等量关系,从而求得离心率;
若求∠的取值范围,即需求cos∠的范围,用余弦定理即可。
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解答:
1)设<
-c,0),则
(3)设||=,||=,∠=,∴+=2,||=2
熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题,在求离心率时,除已知等式外,还需一个关于的等式,即可求得。
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三)直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系的判定
把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y,整理成形如的形式,对此一元二次方程有:
1)⊿>
0,直线与椭圆相交,有两个公共点;
2)⊿=0,直线与椭圆相切,有一个公共点;
3)⊿<
0,直线与椭圆相离,无公共点。
故直线与椭圆位置关系判断的步骤:
第一步:
联立直线方程与椭圆方程;
第二步:
消元得出关于x<
或y)的一元二次方程;
第三步:
当Δ>0时,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,直线与椭圆相离.
2.直线被椭圆截得的张长公式,设直线与椭圆交于两点,则
解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。
3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
※例题解读※
※〖例1〗中心在原点,一个焦点为F1<
0,)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程
根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1<
0,)知,c=,,最后解关于a、b的方程组即可0YujCfmUCw
设椭圆的标准方程为,由F1<
0,)得
把直线方程代入椭圆方程整理得:
。
设弦的两个端点为,则由根与系数的关系得:
,又AB的中点横坐标为,
,与方程联立可解出
故所求椭圆的方程为:
〖例2〗已知椭圆:
,过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长
a=3,b=1,c=2,则F<
-2,0)。
由题意知:
与联立消去y得:
设A<
、B<
,则是上面方程的二实根,由违达定理,,,又因为A、B、F都是直线上的点,
所以|AB|=
四)与椭圆有关的综合问题
〖例〗如图,
已知椭圆C:
经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0>
有直线交椭圆C于A、B两点,M为线段AB中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆于N点eUts8ZQVRd
1)是否存在k,使对任意m>
0,总有成立?
若存在,求出所有k的值;
2)若,求实数k的取值范围。
第<
1)问为存在性问题,可先假设存在,然后由可知M点为ON中点,用坐标表示相关量可求。
2)问用坐标表示向量数量积,列式求解即可。
椭圆C:
,直线AB的方程为:
y=k(x-m>
.
由
消去y得
设,则
则
若存在k,使总成立,M为线段AB的中点,∴M为ON的中点,
∴
即N点的坐标为。
由N点在椭圆上,则
即
故存在k=±
1,使对任意m>
0,总有成立。
2)
由得
探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题,它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。
因此越来越受到高考命题者的青睐。
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1)本题第<
1)问是一是否存在性问题,实质上是探索结论的开放性问题。
相对于其他的开放性问题来说,由于这类问题的结论较少<
只有存在、不存在两个结论有时候需讨论),因此,思考途径较为单一,难度易于控制,受到各类考试命题者的青睐。
解答这一类问题,往往从承认结论、变结论为条件出发,然后通过特例归纳,或由演绎推理证明其合理性。
探索过程要充分挖掘已知条件,注意条件的完备性,不要忽略任何可能的因素。
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2)第<
2)问是参数范围的问题,内容涉及代数和几何的多个方面,综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。
在历年高考中占有较稳定的比重。
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申明:
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