高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8 4椭 圆Word下载.docx

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0,n>

0,m≠n>

,这样可避免讨论和复杂的计算;

也可设为Ax2+By2=1(A>

0,B>

0,A≠B>

这种形式,在解题时更简便.DXDiTa9E3d

求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法,有时还可根据条件用代入法。

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是:

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1)作判断:

根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能。

2)设方程:

根据上述判断设方程。

3)找关系:

根据已知条件,建立关于的方程组。

4)得方程:

解方程组,将解代入所设方程,即为所求。

注:

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为,这种形式在解题时更简便。

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※例题解读※

〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=____;

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方法诠释:

注意|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|,再结合题设即可得出结论;

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解读:

由椭圆的定义及椭圆的标准方程得:

|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,

又已知|F2A|+|F2B|=12,

所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.

答案:

8

〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5、3,过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。

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设椭圆方程为→根据题意求→得方程。

设所求的椭圆方程为,

由已知条件得

故所求方程为

方法指导:

1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解;

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2.在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可先求出椭圆长轴长,再想法求短轴长,从而得出方程;

若已知点的坐标,可先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求解;

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⒊当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形,无论哪种情形,始终有a>

0.

二)椭圆的几何性质

1.椭圆几何性质中的不等关系

椭圆的几何性质涉及一些不等关系,例如对椭圆,有等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值时,经常用到这些不等关系。

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2.利用椭圆几何性质应注意的问题

求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.EmxvxOtOco

3.求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率时,一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式<

或不等式),利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.或者是:

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应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围。

离心率e与的关系:

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椭圆离心率的范围:

0<

e<

1.

〖例〗已知椭圆的长轴、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M<

在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,向量与是共线向量。

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(1)求椭圆的离心率;

(2)设Q是椭圆上任意一点,、分别是左、右焦点,求∠的取值范围。

思路解读:

由与是共线向量可知AB∥OM,从而可得关于的等量关系,从而求得离心率;

若求∠的取值范围,即需求cos∠的范围,用余弦定理即可。

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解答:

1)设<

-c,0),则

(3)设||=,||=,∠=,∴+=2,||=2

熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题,在求离心率时,除已知等式外,还需一个关于的等式,即可求得。

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三)直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判定

把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y,整理成形如的形式,对此一元二次方程有:

1)⊿>

0,直线与椭圆相交,有两个公共点;

2)⊿=0,直线与椭圆相切,有一个公共点;

3)⊿<

0,直线与椭圆相离,无公共点。

故直线与椭圆位置关系判断的步骤:

第一步:

联立直线方程与椭圆方程;

第二步:

消元得出关于x<

或y)的一元二次方程;

第三步:

当Δ>0时,直线与椭圆相交;

当Δ=0时,直线与椭圆相切;

当Δ<0时,直线与椭圆相离.

2.直线被椭圆截得的张长公式,设直线与椭圆交于两点,则

解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。

3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法

利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.

※例题解读※

※〖例1〗中心在原点,一个焦点为F1<

0,)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程

根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1<

0,)知,c=,,最后解关于a、b的方程组即可0YujCfmUCw

设椭圆的标准方程为,由F1<

0,)得

把直线方程代入椭圆方程整理得:

设弦的两个端点为,则由根与系数的关系得:

,又AB的中点横坐标为,

,与方程联立可解出

故所求椭圆的方程为:

〖例2〗已知椭圆:

,过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长

a=3,b=1,c=2,则F<

-2,0)。

由题意知:

与联立消去y得:

设A<

、B<

,则是上面方程的二实根,由违达定理,,,又因为A、B、F都是直线上的点,

所以|AB|=

四)与椭圆有关的综合问题

〖例〗如图,

已知椭圆C:

经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0>

有直线交椭圆C于A、B两点,M为线段AB中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆于N点eUts8ZQVRd

1)是否存在k,使对任意m>

0,总有成立?

若存在,求出所有k的值;

2)若,求实数k的取值范围。

第<

1)问为存在性问题,可先假设存在,然后由可知M点为ON中点,用坐标表示相关量可求。

2)问用坐标表示向量数量积,列式求解即可。

椭圆C:

,直线AB的方程为:

y=k(x-m>

.

消去y得

设,则

若存在k,使总成立,M为线段AB的中点,∴M为ON的中点,

即N点的坐标为。

由N点在椭圆上,则

故存在k=±

1,使对任意m>

0,总有成立。

2)

由得

探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题,它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。

因此越来越受到高考命题者的青睐。

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1)本题第<

1)问是一是否存在性问题,实质上是探索结论的开放性问题。

相对于其他的开放性问题来说,由于这类问题的结论较少<

只有存在、不存在两个结论有时候需讨论),因此,思考途径较为单一,难度易于控制,受到各类考试命题者的青睐。

解答这一类问题,往往从承认结论、变结论为条件出发,然后通过特例归纳,或由演绎推理证明其合理性。

探索过程要充分挖掘已知条件,注意条件的完备性,不要忽略任何可能的因素。

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2)第<

2)问是参数范围的问题,内容涉及代数和几何的多个方面,综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。

在历年高考中占有较稳定的比重。

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申明:

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