高考数学热点集中营 热点22 选修平面几何问题 选修1 新课标文档格式.docx

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命题意图：

本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.

（I）因为,所以.

又因为与圆相切于点，故，

所以.

（II）因为,

所以∽，故，

即.

【最新考纲解读】

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．

2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；

证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）．

定理　在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：

（1）β>

α，平面π与圆锥面的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥面的交线为抛物线；

（3）β<

α，平面π与圆锥面的交线为双曲线．

6．利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切）证明上述定理

（1）情况．

【回归课本整合】

一、相似三角形

1．相似三角形

①性质定理1　相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．

②性质定理2　相似三角形面积的比等于相似比的平方．

相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．

2．圆心角定理

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

3．圆周角定理

6．圆内接四边形

（1）圆内接四边形性质定理

①对角互补．②外角等于它的内对角

（2）圆内接四边形判定定理

如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．

推论　如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．

【方法技巧提炼】

3．同一法：

先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．

4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；

如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

例1如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°

，F在AC上，且AE＝AF.

（1）证明B、D、H、E四点共圆；

（2）证明CE平分∠DEF.

【证明】　

（1）在△ABC中，因为∠B＝60°

，所以∠BAC＋∠BCA＝120°

.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC＋∠HCA＝60°

故∠AHC＝120°

于是∠EHD＝∠AHC＝120°

，

所以∠EBD＋∠EHD＝180°

，所以B、D、H、E四点共圆．

（2）

例2如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.

（1）求证：

AD∥EC；

（2）若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

【解】　

（1）证明：

连接AB（图略），

∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.

∴AD∥EC.

（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2＝PB·

PD，∴62＝PB·

（PB＋9），∴PB＝3.

在⊙O2中由相交弦定理，得PA·

PC＝BP·

PE，

∴PE＝4.

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2＝DB·

DE＝9×

（9＋3＋4），

∴AD＝12.

【考场经验分享】

【新题预测演练】

1.【2020年河北省普通高考模拟考试】

选修4—1：

几何证明选讲

如图，AB是的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且，求证：

（Ⅱ）．

【解析】：

（Ⅰ）证明：

连接，在中

………..2分

又∽………..4分

则

………..5分

（Ⅱ）在中，

又

四点共圆；

………..7分

………..9分

又是⊙的直径，则，

………..10分

2.【2020年邯郸市高三第一次模拟考试】

3.【河南省2020年普通高中毕业班高考适应性测试】

如图，已知中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作，垂足为E，连结OE。

若，分别求AB，OE的长。

所以.……10分

…10分

7.【2020年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】

如图，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点.

（Ⅰ）求证：

四点Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圆；

（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度数.

【命题分析】本题考查四点共圆问题和角的求解，考查学生利用平面几何的知识解决问题的能力。

证明：

（Ⅰ）由圆I与边AC相切于点E，

得IE⊥AE;

…………２分

结合IH⊥AH,得

所以，四点A,I,H,E共圆.…………５分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A,I,H,E共圆，得，;

…………７分

在中,

结合IH⊥AH,得；

所以.

由得…………10分

（Ⅱ）在中，，…………6分

由①得∽,

∴,……………8分

∴,

所以.……………10分

11.[河北冀州中学2020届高三一模考试]

选修4-1：

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE．

为⊙O的直径。

（Ⅱ）求证：

。

；

·

A

B

C

D

G

E

F

O

M

（Ⅰ）连结

∵为⊙M的直径

∴

在⊙中，

∴为⊙O的直径。

………………4分

（Ⅱ）∵

∵点G为弧的中点

在⊙中,

∴∽

∴………………10分

13.[河南省焦作市2020届高三第一次质量检测]

在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交

于点P，交BC延长线于点D。

（1）求证：

；

（2）若AC=3，求的值。

（1），

～，

又（5分）

（2）

（10分）

（1）AC为圆O的切线,∴.又知,DC是的平分线,∴