初高中数学衔接知识点配套练习Word下载.docx
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说明:
请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算：
解：
我们得到：
【公式3】
（立方差公式）
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
【例3】计算：
（1）
（2）
（3）（4）
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
说明：
（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知，求的值．
本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知，求的值．
原式=
①
②，把②代入①得原式=
注意字母的整体代换技巧的应用．
引申：
同学可以探求并证明：
二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
（1）
（2）
（3）（4）
【例6】化简下列各式：
（1）
（2）
（1）原式=
（2）原式=
请注意性质的使用：
当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：
（1）
（2）（3）
（3）原式=
（1）二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
②分母中有根式（如）或被开方数有分母（如）．这时可将其化为形式（如可化为），转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如化为，其中与叫做互为有理化因式）．
【例8】计算：
有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设，求的值．
有关代数式的求值问题：
（1）先化简后求值；
（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：
（1）利用除法法则；
（2）利用分式的基本性质．
【例10】化简
解法一：
解法二：
解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
【例11】化简
（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；
（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．
第二讲因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．
一、公式法（立方和、立方差公式）
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
（1）
（2）
分析：
（1）中，，
（2）中．
（1）
（2）
（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；
（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．
【例2】分解因式：
（1）
（2）
分析：
（1）中应先提取公因式再进一步分解；
（2）中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．
（1）．
二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
【例3】把分解因式．
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．
用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例4】把分解因式．
按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
【例5】把分解因式．
把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；
把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.
【例6】把分解因式．
先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
从例5、例6可以看出：
如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．
三、十字相乘法
1．型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数之积；
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．
因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
【例7】把下列各式因式分解：
．
此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．
【例8】把下列各式因式分解：
此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
【例9】把下列各式因式分解：
（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．
（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．
2．一般二次三项式型的因式分解
大家知道，．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
【例10】把下列各式因式分解：
（1）
（2）
用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
【例11】分解因式
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例12】分解因式
此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将拆成，将多项式分成两组和．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
第三讲一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
（1）当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
（2）当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
（3）当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
（1）
（2）（3）
（1），∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可化为：
，∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可化为：
，∴原方程没有
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