届步步高大一轮复习讲义122Word文档下载推荐.docx

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如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝　　.

4．古典概型的概率公式

P（A）＝.

[难点正本　疑点清源]

1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．

故P（A）＝＝.

1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是________．

答案　

解析　甲共有3种站法，故站在中间的概率为.

2．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．

解析　从6个数中任取2个数的可能情况有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15种，其中和为偶数的情况有（1,3），（1,5），（2,4），（2,6），（3,5），（4,6），共6种，所以所求的概率是.

3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>

a的概率是

（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　基本事件的个数有5×

3＝15，其中满足b>

a的有3种，所以b>

a的概率为＝.

4．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.

5．（2012·

广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

解析　个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．

（1）当个位为奇数时，有5×

4＝20（个）符合条件的两位数．

（2）当个位为偶数时，有5×

5＝25（个）符合条件的两位数．

因此共有20＋25＝45（个）符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.

题型一　基本事件

例1　有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：

用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于3”；

（3）事件“出现点数相等”．

思维启迪：

由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．

解　

（1）这个试验的基本事件为

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），

（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），

（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），

（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：

（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）．

探究提高　基本事件的确定可以使用列举法和树形图法．

　用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：

（1）3个矩形颜色都相同的概率；

（2）3个矩形颜色都不同的概率．

解　所有可能的基本事件共有27个，如图所示．

（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有1×

3＝3（个），故P（A）＝＝.

（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有2×

3＝6（个），故P（B）＝＝.

题型二　古典概型问题

例2　有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：

cm），得到下面数据：

编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

直径

1.51

1.49

1.47

1.46

1.53

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．

（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

（2）从一等品零件中，随机抽取2个．

①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2个零件直径相等的概率．

确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式

求解．

解　

（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A，则P（A）＝＝.

（2）①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B，则其所有可能结果有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6种，

所以P（B）＝.

探究提高　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

　（2012·

上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）．

解析　三位同学每人选择三项中的两项有CCC＝3×

3×

3＝27（种）选法，

其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC＝3×

2＝18（种）选法．

∴所求概率为P＝＝.

题型三　古典概型的综合应用

例3　为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（1）估计该校男生的人数；

（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；

（3）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～

190cm之间的概率．

先根据统计图确定样本的男生人数，身高在170～185cm之间的人数和概率，再确定身高在180～190cm之间的人数，转化成古典概型问题．

解　

（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

（2）由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率p＝0.5.

（3）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.

从上述6人中任选2人的树状图为

故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.

探究提高　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

　一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：

辆）：

轿车A

轿车B

轿车C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

解　

（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，

由题意得＝，所以n＝2000，

则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.

（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，

由题意得＝，则a＝2.

因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有

（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．

事件E包含的基本事件有

（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个．

故P（E）＝，即所求概率为.

（3）样本平均数＝（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.

设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P（D）＝＝，即所求概率为.

六审细节更完善

典例：

（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<

m＋2的概率．

审题路线图

（1）基本