理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx

理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx

《理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（ii）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.

下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例1.（2018·

全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，

平面与线所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

例2.（2018·

全国高考真题（文））设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）

【答案】B

如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

例3.（2017·

全国高考真题（理））a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°

角时，AB与b成30°

角；

②当直线AB与a成60°

角时，AB与b成60°

③直线AB与a所成角的最小值为45°

；

④直线AB与a所成角的最大值为60°

.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，

直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量，（cosθ，sinθ，﹣1），||，

设与所成夹角为α∈[0，]，

则cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴③正确，④错误．

设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

当与夹角为60°

时，即α，

|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，

∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°

，

∴②正确，①错误．

故答案为：

②③．

例4.（2017·

全国高考真题（理））如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为______．

【答案】

如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x（x>

0），则.

，

三棱锥的体积.

设，x>

0，则，

令，即，得，易知在处取得最大值.

∴.

例5.（2016·

浙江高考真题（理））如图，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°

.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.

中，因为，所以.

由余弦定理可得，

所以.

设，则，.在中，由余弦定理可得.故.

在中，，.

由余弦定理可得，所以.

由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.

过作直线的垂线，垂足为.设，则，

即，解得.

而的面积.

当平面PBD⊥平面BDC时：

四面体的体积.

观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为

例6.（2019·

安徽芜湖一中高三开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（1）求证：

平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．

（1）详见解析；

（2）.

（1）为直角三角形，且斜边为，.

将以直线为轴旋转得到，则，即.

二面角是直二面角，即平面平面.

又平面平面，平面，平面.

平面，因此，平面平面；

（2）在中，，斜边，且.

由

（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.

在中，，，，

当时，取最小值，此时取最大值，且.

因此，，

即直线与平面所成角的正弦的最大值为.

例7.（2019·

深圳市高级中学高三月考（文））如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.

（1）若D为线段AC的中点，求证：

AC⊥平面PDO；

（2）求三棱锥P－ABC体积的最大值；

（3）若，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．

（1）见解析；

（2）；

（3）

（1）证明：

在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.

又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.

因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.

（2）解：

因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.

又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.

又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，

故三棱锥P－ABC体积的最大值为.

（3）解：

在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°

同理，所以PB＝PC＝BC.

在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．

当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．

又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．

从而，

即CE＋OE的最小值为.

例8.（2016·

江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

（1）312

（2）

（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.

因为A1B1=AB=6，

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<

h<

6，OO1=4h.连结O1B1.

因为在中，

所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得或（舍）.

当时，，V是单调增函数；

当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当m时，仓库的容积最大.

【压轴训练】

1．（2019·

四川石室中学高三开学考试（文））在中，已知，，，D是边AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥．若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设，则x的取值范围为（）

A.B.C.D.

由将沿BD折起，得到三棱锥，且在底面的射影在线段上，

如图2所示，平面，则，

在折叠前图1中，作，垂足为，

在图1中过作于点，当运动点与点无限接近时，折痕接近，此时与点无限接近，

在图2中，由于是直角的斜边，为直角边，所以，

由此可得,

因为中，，

由余弦定理可得,所以，

所以

由于，所以实数的取值范围是，

故选B．

2．（2019·

四川高三月考（文））已知球O表面上的四点A，B，C，P满足，．若四面体PABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）

A．B．C．D．8π

当平面ABP与平面ABC垂直时，四面体ABCP的体积最大．

由，，得．

设点Р到平面ABC的距离为h，则，解得．

设四面体ABCP外接球的半径为R，则，解得．

所以球O的表面积为．

故选：

A．

3．（2019·

湖南雅礼中学高三月考（理））圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且

过圆锥顶点的截面的面积为：

又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，

故此时，故

圆锥底面半径r

∴侧面展开图的中心角为弧度

A.

4．（2019·

安徽高考模拟（理））如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）

A．B．C．D．1

将正四面体补成正方体，如下图所示：

截面为平行四边形，可得

又，，且

可得（当且仅当时取等