黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学文试题附解析Word下载.docx
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【答案】C
分别判断命题的真假性，由此判断出正确的选项.
【详解】对于命题，的减区间是和，不能写成并集，故命题为假命题.对于命题，为奇函数，故命题为真命题.所以为真命题，故选C.
【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，还考查了函数的单调性，三角函数的诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
4.设，满足约束条件则的最小值是（）
A.-7B.-6C.-5D.-3
【答案】B
试题分析：
作出可行域：
，并作出直线，平移到经过点Ｅ（3,4）时，目标函数取得最小值为：
；
故选B．
考点：
线性规划．
5.在等差数列中，，是方程的两个实根，则（）
A.B.-3C.-6D.2
利用韦达定理列出，的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.
【详解】由于，是方程的两个实根，所以，所以.故选A.
【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题.
6.已知，，，则的大小关系为（）
首先利用对数的运算性质，将化成同底的对数，再根据其单调性求得的大小，之后再利用中介值1，得到的大小，从而求得结果.
【详解】因为，，
所以有，所以，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关对数值与指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有对数式的运算性质，利用对数函数的单调性比较对数值的大小，利用中介值比较对数值与指数幂的大小，属于简单题目.
7.已知双曲线的一条渐近线与轴所成的锐角为，则该双曲线的离心率是（）
A.2或B.C.2D.
首先根据双曲线的一条渐近线与轴所成的锐角为，可以求得其中一条渐近线的斜率为，从而得到，再利用双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率，得到结果.
【详解】因为双曲线的一条渐近线与轴所成的锐角为，
所以可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即其斜率为，
所以有，所以有，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，涉及到的知识点有两直线的夹角，渐近线的斜率，双曲线中的关系，属于简单题目.
8.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）
首先设出圆锥底面的半径为，高为，利用侧面展开图中扇形的弧长和底面圆的周长想的，求得，利用勾股定理求得，利用体积公式求得，从而求得三棱锥的体积，得到结果.
【详解】根据圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，设圆锥底面的半径为，高为，
则有，解得，由此可求得，
所以有，
所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是应用新定义新结论解决有关问题的思路，涉及到的知识点有圆锥侧面展开图中有关量的关系，圆锥的体积公式的应用，属于简单题目.
9.已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（）
A.3B.1C.2D.
根据求得的值，利用点差法求得直线的斜率.
【详解】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.
10.已知函数，的值域为，则的取值范围是（）
先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围.
【详解】由于，所以，由于，所以，解得.故选C.
【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.
11.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
首先利用题中所给的三视图，将该四棱锥放到长方体中，利用相关数据，得到长方体的长宽高，利用线面垂直得到直角三角形，最后一个利用勾股定理得到其为直角三角形，最后得到结果.
【详解】由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：
根据俯视图是等腰直角三角形，结合图中所给的数据，
可知所以对应的长方体的长宽高分别是，
其中三个可以通过线面垂直得到其为直角三角形，
右上方那个侧面可以利用勾股定理得到其为直角三角形，
所以四个侧面都是直角三角形，
【点睛】该题考查的是有关棱锥的侧面中直角三角形的个数问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，利用长方体研究棱锥，线面垂直的判定和性质，勾股定理证明垂直关系，属于中档题目.
12.已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是（）
A.B.
C.D.
根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解.
【详解】由题意，设，则，
因为当时，有，
所以当时，，
所以函数在上为增函数，
因为，又函数是偶函数，所以，
所以，而当时，可得，而时，有，
根据偶函数图象的对称性，可知的解集为，
【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.已知函数，则_____．
【答案】
利用分段函数的性质，先求出，再求的值.
【详解】因为函数，
故答案是：
.
【点睛】该题考查的是有关与分段函数相关的求多层函数值的问题，注意应从内向外求解，再者就是需要分清范围，代哪个关系式.
14.已知，为锐角，且，则____．
【详解】由已知得
因为，所以，.
15.点均在同一球面上，平面，其中是等边三角形，，则该球的表面积为_____．
由题意把A,B,C,D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积.
【详解】由题意画出几何体的图形如图所示：
把A,B,C,D扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点O与A的距离为球的半径R，
因为，所以，又因为是正三角形，
所以所求的球的表面积为，
【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的表面积的求解问题，分析几何体的特征，将三棱锥补成三棱柱，从而得到其外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，从而求得结果.
16.已知点为的重心，，，，则的最小值为_____．
根据三角形重心的性质，得，进而得到关于向量的表达式，再根据已知条件得关于向量的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案.
【详解】因为是的重心，
所以点G在的中线上，且，
因为，所以，
因为，所以
又因为，
因为共线，所以有，
整理得，
所以有，当且仅当时取等号，
【点睛】该题考查的是与向量有关的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，向量的运算法则，向量共线的条件，应用基本不等式求最值，属于较难题目.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
（1）
（2）
（1）利用，得到数列是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项，再利用等比数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意，可得，之后应用裂项相消法对数列求和.
【详解】
（Ⅰ）∵，∴是公比为的等比数列，
又，解得.
∴是以为首项，以为公比的等比数列，
通项公式为.
（Ⅱ）∵
∴
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.
18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且面积为1，求的值.
（1）
（2）
（1）通过三角形的内角和以及正弦的诱导公式还有正弦定理，求得，将利用正弦的倍角公式以及同角正余弦平方和等于1，对式子进行加工，化成关于正切的式子，代入求得结果；
（2）利用，结合平方关系以及角的范围，可以求得其正余弦值，再根据其面积，得到，应用余弦定理，得到相应的等量关系式，最后求得结果.
（Ⅰ）∵，∴，
由正弦定理得
∵，∴，∴.
∴.
（Ⅱ）∵，且，∴为锐角，且，∴，.
∵，∴.
在中，由余弦定理得：
.
∴.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦倍角公式，三角形的面积公式，余弦定理，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
19.如图所示，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）当平面时，求三棱锥的体积.
（1）见证明；
（2）
（1）根据条件，证得平面，根据平面，证得；
（2）根据题意，得到，进一步求得，之后应用相关公式求得三棱锥的体积，也可以利用顶点和底面转换来求.
（Ⅰ）证明：
设中点为，连接、，由题意，
∵，∴四边形为平行四边形.
又，，∴为正方形.
在中，，又，，
∴，∴.
∵平面，平面，∴.
∵平面，且，∴平面.
∵平面，∴.
（Ⅱ）法一：
由已知平面，∴.
∵，，，
∴，，∴
到平面的距离等于到平面的距离，所以三棱锥的高
法二：
由已知平面，∴，
∵，，，∴.
在中，，∴.
由（Ⅰ）知平面，∴.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，三棱锥的体积的求解，注意思路的不唯一性.
20.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.
（1）
（2）见解析
（1）首先根据题中所给的条件，得到所满足的等量关系式，求解即可；
（2）分直线AB的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，写出直线的方程，，将其与椭圆方程联立，根据题中的条件，求得，从而求得直线所过的定点为，当直线AB斜率不存在时，验证也过该点，得证.
（1）由题意知：
，，.
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