学年广东省湛江市高一上学期期末调研考试数学试题文档格式.docx
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
选项
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是
A．B．C．D．
3．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
4．函数的定义域为
A．B．C．D．
5．有一组实验数据如下表：
则体现这些数据的最佳函数模型是
A.B.C.D.
6．已知圆的圆心是直线和直线的交点，直线与圆相交的弦长为，则圆的方程为
A．B．
C．D．
7．过半径为的球（为球心）表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该截面的面积为
A．B．C． D．
8．设、是两条不同直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
9．若圆：
被直线：
分成的两段弧长之比为，则满足条件的圆
A．有一个B．有两个C．有三个D．有四个
10．已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，（为常数），则不等式的解集是
A．B．C．D．
11．若点在直线上，则的最小值是
A． B．C． D．
12．定义在区间上的函数满足两个条件：
（1）对任意的，恒有成立；
（2）当时，．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C．D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．函数，，则_________．
14．已知直线与直线平行，且被圆所截得的弦长为，则直线的方程为________．
15．过点且和圆相切的直线方程为．
16.如图，在直角梯形中，，，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是______________．
（1）不论折至何位置（不在平面内），都有平面；
（2）不论折至何位置，都有；
（3）不论折至何位置（不在平面内），都有；
（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知的顶点的坐标为，边上的高所在直线方程为，为边的中点，且所在的直线方程为.
（Ⅰ）求顶点的坐标；
（Ⅱ）求所在直线的方程.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，点是的中点，，，.
（Ⅰ）证明：
平面平面；
（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）
某种商品在天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系为，该商品在天内日销售量（件）与时间（天）之间满足一次函数关系，具体数据如下表：
第天
（Ⅰ）根据表中提供的数据，求出日销售量关于时间的函数表达式；
（Ⅱ）求该商品在这天中的第几天的日销售金额最大，最大值是多少？
20．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（Ⅰ）用定义法证明；
函数在区间上单调递增；
（Ⅱ）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，直方体中，是中点.
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的值.
22．（本小题满分12分）
已知圆心为的圆过点，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）已知点．对于圆上任意一点，线段上存在异于点的一点，使（为常数）恒成立，判断使的面积等于的点有几个，并说明理由．
湛江市2019—2020学年度第二学期期末调研考试
高中数学（必修①、②）参考答案与评分标准
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
D
B
A
C
10．解：
因为是偶函数，所以，所以．
所以当时，，是增函数，又因为，
所以当时，；
因为是偶函数，所以当时是减函数，且，
所以当时，．
所以解得．
12．解：
因为对任意的，恒有成立，且当时，，
当时，，所以，由得，
所以；
当时，，所以，同理得；
综上所述，，（）．
因为是恒过定点的直线，由图象可知该直线在过点与（不含）之间摆动时满足函数恰有两个的零点，所以．
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15．或 16．
（1）
（2）（4）
17．（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）因为边上的高所在直线方程为，
所以直线的斜率.……………………………………………………………………………1分
所以直线的方程为，即：
.……………………………………2分
所以由解得：
.
∴点的坐标为.………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设，
因为是中点，且，
所以点的坐标为.…………………………………………………………………5分
代入所在直线方程并化简得：
.…………………………………6分
又因为点在边上的高上，
所以.
所以点的坐标为.…………………………………………………………………………8分
.……………………………………10分
18．（本小题满分12分）
证明：
（Ⅰ）因为，是中点，所以.
又因为，所以.…………………2分
又因为平面，平面，，
所以平面.…………………………………………4分
因为平面，
所以平面平面.…………………………………………6分
（Ⅱ）因为，，，
所以，则.
因为平面，，
所以.…………………………………………………………8分
因为平面平面且两平面交线为，平面且，
所以平面.
所以.………………………………………………………………………………10分
因为，
所以.……………………………………………………………11分
设点到平面的距离为，由得：
，即：
，
所以点到平面的距离为.………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设日销售量关于时间的函数表达式为，依题意得：
……………………………………1分
，解之得：
，…………………………………………………………………3分
所以日销售量关于时间的函数表达式为（，，）.……………5分
（Ⅱ）设商品的日销售金额为（元），依题意：
，…………………………………………………6分
所以，……………………………………………7分
即：
.……………………………………………8分
当，时，，当时，；
…………………9分
………………11分
所以该商品在这天中的第天的日销售金额最大，为元.…………………………………12分
（Ⅰ）任取、，且，………………………………………………………………1分
………………………………………………………………2分
.…………………………………………………………………3分
所以，，，
所以，即，即.………………………5分
所以函数在区间上单调递增.………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为函数的定义域是，
对定义域内的每一个都有，
所以函数是奇函数.………………………………………………………………………………7分
由（Ⅰ）知函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，………………………………………………………8分
所以函数在区间上单调递增.………………………………………………………9分
所以，………………………………………………………………………10分
所以，
即实数的取值范围是.…………………………………………………………………12分
（Ⅰ）设，连结，
因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，.………………………………………2分
又因为、分别和的中点，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以，………4分
因为，所以平面，又因为平面，
所以平面.………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为，，平面，平面，且，所以平面，所以，………………………………………8分
又因为，平面，平面，且，
所以平面，垂足为，
所以为直线与平面所成的角.……………………………………………………10分
因为，所以.
所以直线与平面所成的角的大小是.……………………………………………………12分
（Ⅰ）依题意设圆心的坐标为，则半径为，………………………………………………1分
所以圆的方程为，
将代入得：
，解得.…………………………………………3分
所以圆的方程为.…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设点坐标为，由题意可知直线的方程为，故可设点坐标为，
由得：
，化简整理得：
.（*）………………………………………………………5分
因为是圆：
上任意一点，
所以.
要令（*）对任意恒成立，只需，
解之得：
或，因为当时，、重合，矛盾，舍去，
所以.……………………………………………………………………………………………7分
所以点的坐标为，则，直线的方程为.
要令的面积等于，则点到直线的距离，………………………8分
因为圆心到直线的距离，圆的半径为，
所以圆与直线相交，截得一段劣弧和一段优弧，
因为在劣弧上的点到直线的最大距离为，
所以在劣弧上没有点满足条件.………………………………………………………………………10分
又因为在优弧上的点到直线的最大距离为，
所以在优弧上的点有个满足条件.
综上所述，使的面积等于的点有个.…………………………………………………12分
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