江苏省泰州市届高三第一次模拟考试数学试题及答案Word下载.docx
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11.若是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为▲.(写出所有真命题的序号)
①若直线,则在平面内,一定不存在与直线平行的直线.
②若直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线垂直.
③若直线,则在平面内,不一定存在与直线垂直的直线.
④若直线,则在平面内,一定存在与直线垂直的直线.
12.已知实数满足,,则的取值范围为▲.
13.在中,角所对的边分别为,若且,则面积的最大值为▲.
14.在梯形中,,,为梯形所在平面上一点,且满足=0,,为边上的一个动点,则的最小值为▲.
二、解答题:
(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
在平面直角坐标系中,角的终边经过点.
(1)求的值;
(2)若关于轴的对称点为,求的值.
16.(本题满分14分)
如图,在多面体中,四边形是菱形,相交于点,,,平面平面,,点为的中点.
(1)求证:
直线平面;
(2)求证:
直线平面.
17.(本题满分14分)
如图,我市有一个健身公园,由一个直径为2km的半圆和一个以为斜边的等腰直角三角形构成,其中为的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道,按实际需要,四边形的两个顶点分别在线段上,另外两个顶点在半圆上,,且间的距离为1km.设四边形的周长为km.
(1)若分别为的中点,求长;
(2)求周长的最大值.
18.(本题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?
请证明你的结论.
19.((本题满分16分)
数列,,满足:
,,.
(1)若数列是等差数列,求证:
数列是等差数列;
(2)若数列,都是等差数列,求证:
数列从第二项起为等差数列;
(3)若数列是等差数列,试判断当时,数列是否成等差数列?
证明你的结论.
20.(本题满分16分)
已知函数,.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若直线是函数图象的切线,求的最小值;
(3)当时,若与的图象有两个交点,求证:
.
(取为,取为,取为)
数学试题(附加题)
(考试时间:
30分钟总分:
40分)
21.([选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分.
A.(本小题满分10分,几何证明选讲)
如图,与圆相切于点,是的中点,过点引圆的割线,与圆相交于点,连结.
求证:
.
B.(本小题满分10分,矩阵与变换)
已知矩阵,,若矩阵对应的变换把直线变为直线,求直线的方程.
C.(本小题满分10分,坐标系与参数方程选讲)
己知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,直线与圆相交于两点,求弦的长.
D.(本小题满分10分,不等式选讲)
已知正实数满足,求证:
[必做题]第22题,第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.((本小题满分10分)
如图,在长方体中,,,与相交于点,点在线段上(点与点不重合).
(1)若异面直线与所成角的余弦值为,求的长度;
(2)若,求平面与平面所成角的正弦值.
23.((本小题满分10分)
记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数.随机变量表示满足的二元数组中的,其中,每一个(0,1,2,…,)都等可能出现.求.
数学参考答案
一、填空题
1.;
2.;
3.;
4.;
5.;
6.;
7.;
8.;
9.;
10.;
11.②④;
12.;
13.;
14.
二、解答题
15.解:
(1)∵角的终边经过点,∴,……………4分
∴.……………7分
(2)∵关于轴的对称点为,∴.………………………………9分
∴,∴. ……………14分
16.证明
(1)∵四边形是菱形,,∴点是的中点,
∵点为的中点∴,………………3分
又∵平面,平面,∴直线平面.………7分
(2)∵,点为的中点,∴,
∵平面平面,平面平面,
平面,∴平面,………………9分
∵平面∴,
∵,,∴,
∴四边形为平行四边形,∴,………………11分
∵,,∴,∵四边形是菱形,∴,
∵,,,在平面内,
∴平面. ………………14分
17.(1)解:
连结并延长分别交于,连结,
∵分别为的中点,,∴,
为等腰直角三角形,为斜边,,
.∵,∴.………………3分
在中,,∴,
∴. ……………6分
(2)解法1 设,.
在中,,∴,.
∵,∴,
∴,……………………………………………………8分
∴………………10分
,(当或时取等号)
∴当或时,周长的最大值为. …………………14分
解法2 以为原点,为轴建立平面直角坐标系.
设,,,,
∴,,.……………………………8分
∴ ………………………10分
,
(当,或,时取等号)
∴当,或,时,周长的最大值为.……………14分
18.解:
(1)设,
∵直线斜率为时,,∴,∴…………3分
∴,∵,∴.
∴椭圆的标准方程为.………………6分
(2)以为直径的圆过定点.
设,则,且,即,
∵,∴直线方程为:
,∴,
直线方程为:
,∴,………………9分
以为直径的圆为
即,………………12分
令,,解得,
∴以为直径的圆过定点.………………16分
19.证明:
(1)设数列的公差为,
∵,
∴,
∴数列是公差为的等差数列. ………………4分
(2)当时,,
∵,∴,∴,
∵数列,都是等差数列,∴为常数,
∴数列从第二项起为等差数列. ………………10分
(3)数列成等差数列.
解法1 设数列的公差为,
∴,∴,…,,
∴,
设,∴,
两式相减得:
即,∴,
∴, ………………12分
令,得,
∴,∴,
∴数列()是公差为的等差数列, ………………14分
∵,令,,即,
∴数列是公差为的等差数列. ………………16分
解法2 ∵,,
令,,即,………………12分
∴,,
∵数列是等差数列,∴,
∴, ………………14分
∴数列是等差数列. ………………16分
20.解:
(1),则,
∵在上单调递增,∴对,都有,
即对,都有,∵,∴,
故实数的取值范围是.………………4分
(2)设切点,则切线方程为,
即,亦即,
令,由题意得,……7分
令,则,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
∴,故的最小值为.………………10分
(3)由题意知,,
两式相加得,两式相减得,
即, …………12分
不妨令,记,令,则,
∴在上单调递增,则,
∴,则,∴,
又,
∴,即,
令,则时,,∴在上单调递增,
∴,则,即.
………………16分
附加题参考答案
21.A.证明:
∵与相切于点.由切割线定理:
∵是的中点,∴.∴.………………5分
∴.∵∴∴……10分
21.B.解:
∴, ………………5分
设直线上任意一点在矩阵对应的变换下为点
,∴.
代入,,化简后得:
. ………………10分
21.C.解:
圆:
,直线:
,………………5分
圆心到直线的距离,弦长.………10分
21.D.证明:
∵正实数满足,
∴,∴,………………5分
∴.………………10分
22.解:
(1)以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意,知,,
,,.设,
∴,.
设异面直线与所成角为,
则,
化简得:
解得:
或,
或. ………………5分
(2)∵,∴,
,,,
设平面的一个法向量为,
∴,∴,即,取,,
设平面与平面所成角为,
∴. ………………10分
23.解:
当时,
,,,,
∴当时,的解为. ………………3分
当,,
由可知:
当时,成立,
当时,(等号不同时成立),即.……………6分
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…………………………………………8分
∴.
………………………………………10分