世纪金榜理科数学广东版专项强化训练三Word下载.docx

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f（x）g′（x）,+=,若有穷数列（n∈N*）的前n

项和等于,则n等于　（　　）

A.4B.5C.6D.7

5.甲、乙两间工厂的月产值在2013年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2013年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2013年6月份的月产值大小,则有　（　　）

A.甲的产值小于乙的产值

B.甲的产值等于乙的产值

C.甲的产值大于乙的产值

D.不能确定

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.（2014·

南昌模拟）已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于　　　　.

7.（2014·

成都模拟）数列{an}是等差数列,a1=f（x+1）,a2=0,a3=f（x-1）,其中f（x）=x2-4x+2,则此数列的前n项和Sn=　　　　.

8.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:

,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:

①a24=;

②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;

③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=;

④若存在正整数k,使Sk<

10,Sk+1≥10,则ak=.

其中正确的结论有　　　　.（将你认为正确的结论的序号都填上）

三、解答题（9～10题各13分,11题14分）

9.已知单调递增的等比数列{an}满足:

a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）若bn=anloan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·

2n+1>

50成立的正整数n的最小值.

10.（2014·

深圳模拟）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点,其导函数为

f′（x）=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点（n,Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上.

（1）求y=f（x）的解析式.

（2）求数列{an}的通项公式.

（3）设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<

对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

11.（2014·

汕头模拟）在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为An,令an=log2An,n∈N*.

（1）求数列{An}的前n项和Sn.

（2）求Tn=tana2·

tana4+tana4·

tana6+…+tana2n·

tana2n+2.

答案解析

1.【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d,得

ak=a1+（k-1）d=（k+8）d,

a2k=a1+（2k-1）d=（2k+8）d.

又因为ak是a1与a2k的等比中项,则有=a1a2k,

即[（k+8）d]2=9d×

[（2k+8）d]得

k2-2k-8=0,解得k1=4,k2=-2（舍去）.

2.【解析】选B.由题意知a1010=>

==b1010,故选B.

3.【解析】选D.由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,bn=3n,又cn==33n,所以c2013=

33×

2013=272013,故选D.

4.【解析】选B.令h（x）=,则h′（x）=<

0,故函数h（x）为减函数,即0<

a<

1.

再根据+=,得a+=,

解得a=2（舍去）或者a=.则=,数列的前n项和是=1-,

由于1-=,所以n=5.

【加固训练】定义:

F（x,y）=yx（x>

0,y>

0）,已知数列{an}满足:

an=（n∈N*）,若对任意正整数n,都有an≥ak（k∈N*）成立,则ak的值为　（　　）

A.B.2

C.1D.4

【解析】选A.an=,==,2n2-（n+1）2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<

（n+1）2,当n≥3时,2n2>

（n+1）2,即当n≥3时,an+1>

an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.

5.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>

b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.

【方法技巧】建模解数列问题

对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.

6.【解析】设{an}的公比为q,bn+1-bn=lgan+1-lgan

=lg=lgq（常数）,

所以{bn}为等差数列.

设公差为d,所以所以

由bn=-2n+24≥0,得n≤12,所以{bn}的前11项为正,第12项为零,从第13项起为负,

所以S11,S12最大且S11=S12=132.

答案:

132

7.【解析】由题意可得f（x+1）+f（x-1）=0,

即（x+1）2-4（x+1）+2+（x-1）2-4（x-1）+2=0,

解得:

x=1或x=3,

当x=1时,此时a1=-2,a2=0,a3=2,则d=2,所以Sn=n2-3n.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2,则d=-2,所以Sn=-n2+3n.

n2-3n或-n2+3n

【加固训练】已知函数f（x）满足:

f（x+y）=f（x）f（y）,f

（1）=3,数列{an}满足an=f（n）,则++++…+=　　　.

【解析】令y=1得f（x+1）=3f（x）,故a1=3,an+1=3an,即数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,所以==6,所以所求结果为6n.

6n

8.【解析】依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:

第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,

对于①,注意到21=<

24<

=28,因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此①正确.

对于②③,设bn为②③中的数列的通项,则bn==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于×

=,因此②不正确,③正确.

对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=,因此④正确.

综上所述,其中正确的结论有①③④.

①③④

9.【解析】

（1）设等比数列{an}的公比为q.

依题意,有2（a3+2）=a2+a4,

代入a2+a3+a4=28,得a3=8,

所以a2+a4=20.

所以解之得或

又{an}单调递增,所以q=2,a1=2,

所以an=2n.

（2）bn=2n·

lo2n=-n·

2n,

所以-Sn=1×

2+2×

22+3×

23+…+n×

2n　①

所以-2Sn=1×

22+2×

23+…+（n-1）×

2n+n×

2n+1　②

①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n·

2n+1=-n·

2n+1=2n+1-2-n·

2n+1,

所以Sn+n·

50,即2n+1-2>

50,所以2n+1>

52,

又当n≤4时,2n+1≤25=32<

当n≥5时,2n+1≥26=64>

52.

故使Sn+n·

50成立的正整数n的最小值为5.

10.【解析】

（1）依题意设二次函数f（x）=ax2+bx,则f′（x）=2ax+b.

由于f′（x）=6x-2,得:

a=3,b=-2,

所以f（x）=3x2-2x.

（2）由点（n,Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上,又f（x）=3x2-2x,

所以Sn=3n2-2n.

当n=1时,a1=S1=3×

12-2=1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=（3n2-2n）-[3（n-1）2-2（n-1）]=6n-5,又a1=1符合上式,

所以an=6n-5（n∈N*）.

（3）由

（2）得知bn==

==,

故Tn=b1+b2+…+bn=

=.

要使Tn==-<

（n∈N*）成立,需要满足≤,

即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.

11.【解析】

（1）根据题意,n+2个数构成递增的等比数列,

设为b1,b2,b3,…,bn+2,其中b1=1,bn+2=2,

可得An=b1·

b2·

…·

bn+1·

bn+2,①;

An=bn+2·

b1,②,

由等比数列的性质,得b1·

bn+2=b2·

bn+1=b3·

bn=…=bn+2·

b1=2,

所以①×

②,得=（b1bn+2）·

（b2bn+1）·

（bn+1b2）·

（bn+2b1）=2n+2.

因为An>

0,所以An=.因此,可得==（常数）,

所以数列{An}是首项为A1=2,公比为的等比数列.

所以数列{An}的前n项和

Sn==（4+2）[（）n-1].

（2）由

（1）得an=log2An=log2=,

因为tan1=tan[（n+1）-n]=,

所以tan（n+1）tann=-1,n∈N*.

从而tana2n·

tana2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=-1,n∈N*,

所以Tn=tana2·

tana2n+2

=tan2·

tan3+tan3·

tan4+…+tan（n+1）tan（n+2）

=++…+

=-n.

即Tn=tana2·

tana2n+2=-n.

（2014·

宁波模拟）政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价.an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用,用bn表示该企业第n年的产值.a1=a（万元）,且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a（万元）;

又设b1=b（万元）,且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%,Pn=表示企业第n年“对社会的有效贡献率”.

（1）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”.

（2）试问:

从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?

【解析】

（1）因为a1=a,b1=b,

根据题意:

a2=a1+2a=3a,b2=b1（1+10%）