届广东省深圳市高三第二次调研考试数学理试题Word文档格式.docx
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每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设为虚数单位，则复数等于
A．B．C．D．
2．平面向量，，若，则等于
A．B．C．D．
3．下列四个函数中，在闭区间上单调递增的函数是
4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）
A．B．
C．D．
5．若实数，满足约束条件,
则的取值范围是
A．B．
6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入
，，，的值依次是，，，，
则输出的值为
7．从，，，，，这六个数字中任取五个，
组成五位数，则不同的五位数共有
A．个B．个C．个D．个
8．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．
给定点集，，，
其中“关于运算*对称”的点集个数为
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：
第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．不等式的解集为．
10．已知随机变量服从正态分布，若，
则．
11．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则此双曲线的离心率等于．
12．设等差数列的前项和为，已知，，则．
13．已知△的内角、、所对的边为、、，则“”是“”
的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：
（为参数）与曲线：
（为参数）相交于、两点，则_________．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，、是⊙的两条切线，切点分别为、．若，，则⊙的半径为．
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数（其中，）．已知．
（1）求函数的解析式；
（2）若角满足，且，求角的值．
17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：
申请意向
年龄
摇号
竞价（人数）
合计
电动小汽车（人数）
非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁）
50
100
200
30至50岁
（含50岁）
150
300
500
50岁以上
400
1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在
（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形，为△内部一点，点在的延长线上，且．
（1）证明：
；
（2）证明：
平面平面；
（3）若，，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，满足，，且成等比数列．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：
对一切正整数，有…．
20．（本小题满分14分）
已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为，（），动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的圆：
以曲线的弦为直径；
过点；
直径．若存在，指出共有几个；
若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数，对任意的，满足，
其中为常数．
（1）若的图像在处切线过点，求的值；
（2）已知，求证：
（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
9．10．11．12．13．
14．（坐标系与参数方程选做题）15．（几何证明选讲选做题）
设函数（其中，，）．已知时，取得最小值．
（2）若角满足，且，求的值．
解：
（1）由最小值且，所以．…………………………………………1分
因为，所以，……………………………………………………2分
由可得，所以，………………………………………3分
所以．……………………………………………………………………………………4分
故的解析式为．…………………………………………………5分
（2）（法1）由
（1），得，
即，， ……………………8分
所以或． ………………………………………………10分
又，所以． …………………………………………………11分
所以． ………………………………………………………………………12分
（法2）由
（1），得，
即． ………………………………………………………8分
所以或，． …………………………10分
即或，．
又，所以． …………………………………………………………11分
所以． ………………………………………………………………………12分
【说明】本题主要考查的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力．
深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：
（3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．
（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：
、、． ………………………………………2分
所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：
人、人、人． ……………………………………4分
（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，
所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为． …………………………………6分
（3），的可能取值为． ………………………………………7分
因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为，……………8分
所以，随机变量服从二项分布，即～． …………………………………………9分
，，
．
即的分布列为：
……………………………………………………………………………11分
的数学期望为：
．…………………………………………12分
【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力．
（3）若，求二面角的余弦值．
证明：
（1）因为，，两两垂直，
所以，．
又△为等边三角形，，
所以，
故． …………………………………………………………………………3分
（2）因为，，两两垂直，
所以，平面，
而平面，所以． …………………………………………………………5分
取中点，连结，．
由
（1）知，，所以．
由已知，所以．
而平面，所以． …………………………………………………7分
又，所以，平面平面． …………………………………………9分
（3）（法一）由
（2）知平面，
所以平面平面，
且平面平面，
过点作平面，且交的延长线于点，连接，
因为，，
由
（1）同理可证，
在△中，，
所以，又因为，
所以平面，
所以为二面角的平面角， ………………………………………………11分
在直角△中，， ……………………………………………………12分
由
（2）知，所以△为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，二面角的余弦值为． …………………………………………………14分
（
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