高考分类题库考点37 立体几何中的向量方法Word文档下载推荐.docx

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设平面的法向量为，平面的法向量，

，，。

可得可取。

。

由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。

（3）点D的竖轴坐标为t（0<

t<

4），在平面中作于E,根据比例关系可知，，

又，，。

2.（2013·

辽宁高考理科·

Ｔ18）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。

求证：

平面平面;

若求二面角的余弦值。

【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直，由面面垂直的判定定理解决问题；

借助前面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值。

【解析】由是圆的直径，得；

由垂直于圆所在的平面，得平面;

又平面，得；

又

所以，又因为

据面面垂直判定定理，平面平面;

过点作∥,由知平面.

如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。

在直角三角形ABC中，所以

又所以

故

设平面的法向量为

则

不妨令，则故

设平面的法向量为，

由同理可得

于是

结合图形和题意，二面角的余弦值为

第19题解答图1

3.（2013·

湖北高考理科·

T19）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.

（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆O的另一个交点为D，且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E--C的大小为，求证：

（Ⅰ）利用线面平行的判定和性质定理求解.（Ⅱ）用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明.

（Ⅰ）直线∥平面，证明如下：

连接，因为，分别是，的中点，所以∥.

又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥.因为平面，平面，所以直线∥平面.

（Ⅱ）方法一：

如图1，连接，由（Ⅰ）可知交线即为直线，且∥.

因为是的直径，所以，于是.

已知平面，而平面，所以.

而，所以平面.

连接，，因为平面，所以.

故就是二面角的平面角，即.

由，作∥，且.

连接，，因为是的中点，，所以，

从而四边形是平行四边形，∥.

连接，因为平面，所以是在平面内的射影，

故就是直线与平面所成的角，即.

又平面，有，知为锐角，

故为异面直线与所成的角，即，

于是在△，△，△中，分别可得

，，，

从而，即.

方法二：

如图2，由，作∥，且.连接，，，，，由（Ⅰ）可知交线即为直线.

以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有

.

于是，，，

所以，从而.

又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由可得取.

于是，从而.

故，即.

4.（2013·

重庆高考理科·

Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标根据⊥可求出的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.

（Ⅰ）如图,

连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故

因⊥底面，可设,

由为边中点,又.因⊥．故即（舍去）,所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知设平面的法向量为平面的法向量为由得

因此可取.

由得

因此可取

从而法向量夹角的余弦值为

故二面角的正弦值为

5.（2013·

新课标Ⅰ高考理科·

Ｔ18）如图，三棱柱中，，，.

（Ⅰ）证明;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

（Ⅰ）取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.

（Ⅱ）利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直角坐标系求解.

（Ⅰ）取的中点，连结，，.

因为，所以.

由于，，故为等边三角形，

所以.

因为，所以面.

又平面，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两互相垂直.

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系

则有，,,.

则，，.

则有，即，可取.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

6.（2013·

大纲版全国卷高考理科·

Ｔ19）如图，四棱锥都是等边三角形.

（）证明：

（）求二面角

（）取的中点，连结，则

为正方形.过作平面，垂足为.

连结，，，.

由和都是等边三角形知,

所以，即点为正方形对角线的交点，

故，从而.

因为是的中点，是的中点，所以∥，

因此.

（）解法一：

由（）知，，,

故面.

又面,所以.

取的中点，的中点，连结，则∥,.

连结，由为等边三角形可得.

所以为二面角的平面角.

连结，，则∥.

又，所以.

设，则，，

故.

在中，，，.

因此二面角的大小为.

解法二：

由（）知，两两垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则,,

,

.

设平面的法向量为，则，

，

可得

取，得，，故平面PCD的一个法向量为.

设平面的法向量为,则

.取，得，故平面PAD的一个法向量为

于是.

由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.

7.（2013·

四川高考理科·

Ｔ19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．

（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；

（2）设

（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．

【解题指南】本题第

（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件,在第

（2）问的求解过程中需要建立空间直角坐标系利用法向量进行求解.

（1）在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.

由已知,AB=AC,D是BC的中点,

所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.

因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1.

（2）设AA1=1,如图,

过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

则A1（0,0,0）,A（0,0,1）.

因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,

故,M（,,1）,N（−,,1）,

所以=（，−,1）,=（0,0,1）,=（,0,0）.

设平面AA1M的一个法向量为=（x1,y1,z1）,则

故有

从而

取x1=1,则y1=-,所以n1=（1,-,0）.

设平面A1MN的一个法向量为n2=（x2,y2,z2）,则

取y2=2,则z2=-1,所以n2=（0,2,-1）.

设二面角A􀆼

A1M􀆼

N的平面角为θ,又θ为锐角,

则cosθ==.

故二面角A􀆼

N的余弦值为.

8.（2013·

天津高考理科·

T17）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

（1）证明B1C1⊥CE.

（2）求二面角B1-CE-C1的正弦值.

（3）设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.

【解题指南】方法一:

（1）建立空间直角坐标系,写出的坐标,利用数量积证明.

（2）求出平面B1CE与平面CEC1的法向量,由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.（3）直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦,确定向量的坐标,由向量的模求线段AM的长.

方法二:

（1）要证明线段垂直,先证明线面垂直,关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E,然后进行证明.

（2）要求二面角B1-CE-C1的正弦值,关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角,然后在三角形中求解.（3）首先构造三角形,设AM=x,在直角三角形AHM,C1D1E中用x表示出AH,EH的长度,最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.

（方法一）

如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A（0,0,0）,B（0,0,2）,C（1,0,1）,

B1（0,2,2）,C1（1,2,1）,E（0,1,0）.

（1）易得，于是，所以.

（2）设平面B1CE的法向量则即消去x,得，不妨设，可得一个法向量为

由

（1）知，又CC1⊥B1C1，可得，故平面的一个法向量.

于是所以

因此二面角B1－CE－C1的正弦值为

（3）设,则.可取为平面一个法向量.

设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，于是

于是解得所以

（方法二）

（1）因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1,经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.

（2）过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G,由

（1）知,B1C1⊥CE,B1C1,B1G平面B1C1G,B1C1∩B1G=B1,故CE⊥平面B1C1G,又C1G平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin∠B1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.

（）连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.

设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=,AH=,在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=,在△AEH中,∠AEH=135°

AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·

EHcos135°

得整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.

9.（2013·

上海高考理科·

T19）如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC′到平面D1AC的距离.

【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A（1,0,1）,B（1,2,1）,C（0,2,1）,C'

（0,